Theorem ubicc2 9761

Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ubicc2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )

Proof of Theorem ubicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
2		simp3 983	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A <_ B )
3		xrleid 9579	. . 3 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
4	3	3ad2ant2 1003	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B <_ B )
5		elicc1 9700	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B e. ( A [,] B ) <-> ( B e. RR* /\ A <_ B /\ B <_ B ) ) )
6	5	3adant3 1001	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B e. ( A [,] B ) <-> ( B e. RR* /\ A <_ B /\ B <_ B ) ) )
7	1, 2, 4, 6	mpbir3and 1164	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RR*cxr 7792   <_ cle 7794   [,]cicc 9667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-icc 9671

This theorem is referenced by:  ivthinclemum  12771  ivthinclemlopn  12772  ivthdec  12780