Theorem ubicc2 9981

Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ubicc2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )

Proof of Theorem ubicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
2		simp3 999	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A <_ B )
3		xrleid 9796	. . 3 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
4	3	3ad2ant2 1019	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B <_ B )
5		elicc1 9920	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B e. ( A [,] B ) <-> ( B e. RR* /\ A <_ B /\ B <_ B ) ) )
6	5	3adant3 1017	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B e. ( A [,] B ) <-> ( B e. RR* /\ A <_ B /\ B <_ B ) ) )
7	1, 2, 4, 6	mpbir3and 1180	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   RR*cxr 7987   <_ cle 7989   [,]cicc 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-pre-ltirr 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-icc 9891

This theorem is referenced by:  ivthinclemum  13984  ivthinclemlopn  13985  ivthdec  13993  cos0pilt1  14144