Theorem lbicc2 9941

Description: The lower bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbicc2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )

Proof of Theorem lbicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. RR* )
2		xrleid 9757	. . 3 |- ( A e. RR* -> A <_ A )
3	2	3ad2ant1 1013	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A <_ A )
4		simp3 994	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A <_ B )
5		elicc1 9881	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A e. ( A [,] B ) <-> ( A e. RR* /\ A <_ A /\ A <_ B ) ) )
6	5	3adant3 1012	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A e. ( A [,] B ) <-> ( A e. RR* /\ A <_ A /\ A <_ B ) ) )
7	1, 3, 4, 6	mpbir3and 1175	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RR*cxr 7953   <_ cle 7955   [,]cicc 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-icc 9852

This theorem is referenced by:  ivthinclemlm  13406  ivthinclemuopn  13410  ivthdec  13416  cosq34lt1  13565  cos02pilt1  13566