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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ivthdec | Unicode version |
Description: The intermediate value theorem, decreasing case, for a strictly monotonic function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.) |
Ref | Expression |
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ivth.1 |
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ivth.2 |
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ivth.3 |
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ivth.4 |
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ivth.5 |
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ivth.7 |
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ivth.8 |
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ivthdec.9 |
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ivthdec.i |
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Ref | Expression |
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ivthdec |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ivth.1 |
. . 3
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2 | ivth.2 |
. . 3
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3 | ivth.3 |
. . . 4
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4 | 3 | renegcld 8336 |
. . 3
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5 | ivth.4 |
. . 3
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6 | ivth.5 |
. . 3
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7 | ivth.7 |
. . . 4
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8 | eqid 2177 |
. . . . 5
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9 | 8 | negfcncf 14059 |
. . . 4
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10 | 7, 9 | syl 14 |
. . 3
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11 | fveq2 5515 |
. . . . . 6
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12 | 11 | negeqd 8151 |
. . . . 5
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13 | 6 | sselda 3155 |
. . . . 5
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14 | ivth.8 |
. . . . . 6
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15 | 14 | renegcld 8336 |
. . . . 5
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16 | 8, 12, 13, 15 | fvmptd3 5609 |
. . . 4
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17 | 16, 15 | eqeltrd 2254 |
. . 3
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18 | fveq2 5515 |
. . . . . . 7
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19 | 18 | negeqd 8151 |
. . . . . 6
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20 | 1 | rexrd 8006 |
. . . . . . . 8
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21 | 2 | rexrd 8006 |
. . . . . . . 8
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22 | 1, 2, 5 | ltled 8075 |
. . . . . . . 8
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23 | lbicc2 9983 |
. . . . . . . 8
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24 | 20, 21, 22, 23 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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25 | 6, 24 | sseldd 3156 |
. . . . . 6
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26 | fveq2 5515 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . 8
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28 | 14 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . 8
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29 | 27, 28, 24 | rspcdva 2846 |
. . . . . . 7
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30 | 29 | renegcld 8336 |
. . . . . 6
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31 | 8, 19, 25, 30 | fvmptd3 5609 |
. . . . 5
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32 | ivthdec.9 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | simprd 114 |
. . . . . 6
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34 | 3, 29 | ltnegd 8479 |
. . . . . 6
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35 | 33, 34 | mpbid 147 |
. . . . 5
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36 | 31, 35 | eqbrtrd 4025 |
. . . 4
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37 | 32 | simpld 112 |
. . . . . 6
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38 | fveq2 5515 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . 8
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40 | ubicc2 9984 |
. . . . . . . . 9
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41 | 20, 21, 22, 40 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . 8
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42 | 39, 28, 41 | rspcdva 2846 |
. . . . . . 7
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43 | 42, 3 | ltnegd 8479 |
. . . . . 6
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44 | 37, 43 | mpbid 147 |
. . . . 5
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45 | fveq2 5515 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | negeqd 8151 |
. . . . . 6
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47 | 6, 41 | sseldd 3156 |
. . . . . 6
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48 | 42 | renegcld 8336 |
. . . . . 6
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49 | 8, 46, 47, 48 | fvmptd3 5609 |
. . . . 5
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50 | 44, 49 | breqtrrd 4031 |
. . . 4
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51 | 36, 50 | jca 306 |
. . 3
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52 | ivthdec.i |
. . . . 5
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53 | fveq2 5515 |
. . . . . . . 8
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54 | 53 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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55 | simpll 527 |
. . . . . . . 8
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56 | 55, 28 | syl 14 |
. . . . . . 7
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57 | simprl 529 |
. . . . . . 7
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58 | 54, 56, 57 | rspcdva 2846 |
. . . . . 6
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59 | 14 | adantr 276 |
. . . . . 6
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60 | 58, 59 | ltnegd 8479 |
. . . . 5
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61 | 52, 60 | mpbid 147 |
. . . 4
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62 | 13 | adantr 276 |
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63 | 15 | adantr 276 |
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64 | 8, 12, 62, 63 | fvmptd3 5609 |
. . . 4
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65 | fveq2 5515 |
. . . . . 6
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66 | 65 | negeqd 8151 |
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67 | 6 | sseld 3154 |
. . . . . 6
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68 | 55, 57, 67 | sylc 62 |
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69 | 58 | renegcld 8336 |
. . . . 5
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70 | 8, 66, 68, 69 | fvmptd3 5609 |
. . . 4
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71 | 61, 64, 70 | 3brtr4d 4035 |
. . 3
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72 | 1, 2, 4, 5, 6, 10, 17, 51, 71 | ivthinc 14091 |
. 2
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73 | fveq2 5515 |
. . . . . . 7
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74 | 73 | negeqd 8151 |
. . . . . 6
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75 | ioossicc 9958 |
. . . . . . . 8
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76 | 75, 6 | sstrid 3166 |
. . . . . . 7
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77 | 76 | sselda 3155 |
. . . . . 6
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78 | fveq2 5515 |
. . . . . . . . 9
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79 | 78 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . 8
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80 | 28 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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81 | 75 | sseli 3151 |
. . . . . . . . 9
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82 | 81 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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83 | 79, 80, 82 | rspcdva 2846 |
. . . . . . 7
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84 | 83 | renegcld 8336 |
. . . . . 6
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85 | 8, 74, 77, 84 | fvmptd3 5609 |
. . . . 5
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86 | 85 | eqeq1d 2186 |
. . . 4
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87 | cncff 14034 |
. . . . . . . 8
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88 | 7, 87 | syl 14 |
. . . . . . 7
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89 | 88 | ffvelcdmda 5651 |
. . . . . 6
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90 | 77, 89 | syldan 282 |
. . . . 5
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91 | 3 | recnd 7985 |
. . . . . 6
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92 | 91 | adantr 276 |
. . . . 5
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93 | 90, 92 | neg11ad 8263 |
. . . 4
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94 | 86, 93 | bitrd 188 |
. . 3
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95 | 94 | rexbidva 2474 |
. 2
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96 | 72, 95 | mpbid 147 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 ax-pre-suploc 7931 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-map 6649 df-sup 6982 df-inf 6983 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-3 8978 df-4 8979 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-rp 9653 df-ioo 9891 df-icc 9894 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-cncf 14028 |
This theorem is referenced by: cosz12 14171 ioocosf1o 14245 |
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