Theorem xrlelttrd 9586

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xrlttrd.2	|- ( ph -> B e. RR* )
xrlttrd.3	|- ( ph -> C e. RR* )
xrlelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
xrlelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		xrlelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		xrlttrd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
4		xrlttrd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
5		xrlttrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR* )
6		xrlelttr 9582	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 429	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   RR*cxr 7792   < clt 7793   <_ cle 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799

This theorem is referenced by:  xlt2add  9656  elioc2  9712  elicc2  9714  xrmaxltsup  11020  blgt0  12560  xblss2ps  12562  xblss2  12563  tgioo  12704