Theorem xrlelttrd 9434

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xrlttrd.2	|- ( ph -> B e. RR* )
xrlttrd.3	|- ( ph -> C e. RR* )
xrlelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
xrlelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		xrlelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		xrlttrd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
4		xrlttrd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
5		xrlttrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR* )
6		xrlelttr 9430	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1184	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 427	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1448   class class class wbr 3875   RR*cxr 7671   < clt 7672   <_ cle 7673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-cnv 4485  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678

This theorem is referenced by:  xlt2add  9504  elioc2  9560  elicc2  9562  xrmaxltsup  10866  blgt0  12330  xblss2ps  12332  xblss2  12333  tgioo  12465