Theorem blgt0 15070

Description: A nonempty ball implies that the radius is positive. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blgt0	|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )

Proof of Theorem blgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8189	. . 3 |- 0 e. RR*
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 e. RR* )
3		simpl1 1024	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 1025	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> P e. X )
5		elbl 15059	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
6	5	simprbda 383	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> A e. X )
7		xmetcl 15020	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( P D A ) e. RR* )
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D A ) e. RR* )
9		simpl3 1026	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R e. RR* )
10		xmetge0 15033	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> 0 <_ ( P D A ) )
11	3, 4, 6, 10	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D A ) )
12	5	simplbda 384	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D A ) < R )
13	2, 8, 9, 11, 12	xrlelttrd 10002	1 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   RR*cxr 8176   < clt 8177   <_ cle 8178   *Metcxmet 14494   ballcbl 14496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-map 6795  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-2 9165  df-xadd 9965  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-bl 14504

This theorem is referenced by: (None)