Theorem blgt0 14379

Description: A nonempty ball implies that the radius is positive. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blgt0	|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )

Proof of Theorem blgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8035	. . 3 |- 0 e. RR*
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 e. RR* )
3		simpl1 1002	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		simpl2 1003	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> P e. X )
5		elbl 14368	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
6	5	simprbda 383	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> A e. X )
7		xmetcl 14329	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( P D A ) e. RR* )
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D A ) e. RR* )
9		simpl3 1004	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R e. RR* )
10		xmetge0 14342	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> 0 <_ ( P D A ) )
11	3, 4, 6, 10	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D A ) )
12	5	simplbda 384	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D A ) < R )
13	2, 8, 9, 11, 12	xrlelttrd 9842	1 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) /\ A e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   0cc0 7842   RR*cxr 8022   < clt 8023   <_ cle 8024   *Metcxmet 13866   ballcbl 13868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-2 9009  df-xadd 9805  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-bl 13876

This theorem is referenced by: (None)