ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blgt0 Unicode version

Theorem blgt0 12585
Description: A nonempty ball implies that the radius is positive. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blgt0  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <  R
)

Proof of Theorem blgt0
StepHypRef Expression
1 0xr 7824 . . 3  |-  0  e.  RR*
21a1i 9 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  e.  RR* )
3 simpl1 984 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
4 simpl2 985 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  P  e.  X
)
5 elbl 12574 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
65simprbda 380 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  A  e.  X
)
7 xmetcl 12535 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( P D A )  e.  RR* )
83, 4, 6, 7syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D A )  e.  RR* )
9 simpl3 986 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  e.  RR* )
10 xmetge0 12548 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  0  <_  ( P D A ) )
113, 4, 6, 10syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D A ) )
125simplbda 381 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D A )  <  R
)
132, 8, 9, 11, 12xrlelttrd 9605 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <  R
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7632   RR*cxr 7811    < clt 7812    <_ cle 7813   *Metcxmet 12163   ballcbl 12165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-2 8791  df-xadd 9572  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-bl 12173
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator