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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xlt2add | Unicode version |
Description: Extended real version of
lt2add 8433. Note that ltleadd 8434, which has
weaker assumptions, is not true for the extended reals (since
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Ref | Expression |
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xlt2add |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xaddcl 9892 |
. . . . . . . 8
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2 | 1 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | adantr 276 |
. . . . . 6
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4 | simp1l 1023 |
. . . . . . . 8
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5 | simp2r 1026 |
. . . . . . . 8
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6 | xaddcl 9892 |
. . . . . . . 8
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7 | 4, 5, 6 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | adantr 276 |
. . . . . 6
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9 | xaddcl 9892 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | adantr 276 |
. . . . . 6
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12 | simp3r 1028 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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14 | simp1r 1024 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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16 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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17 | simprl 529 |
. . . . . . . 8
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18 | xltadd2 9909 |
. . . . . . . 8
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19 | 15, 16, 17, 18 | syl3anc 1249 |
. . . . . . 7
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20 | 13, 19 | mpbid 147 |
. . . . . 6
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21 | simp3l 1027 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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23 | 4 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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24 | simp2l 1025 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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26 | simprr 531 |
. . . . . . . 8
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27 | xltadd1 9908 |
. . . . . . . 8
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28 | 23, 25, 26, 27 | syl3anc 1249 |
. . . . . . 7
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29 | 22, 28 | mpbid 147 |
. . . . . 6
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30 | 3, 8, 11, 20, 29 | xrlttrd 9841 |
. . . . 5
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31 | 30 | anassrs 400 |
. . . 4
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32 | pnfxr 8041 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | pnfge 9821 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 24, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 4, 24, 33, 21, 35 | xrltletrd 9843 |
. . . . . . . . . 10
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37 | npnflt 9847 |
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38 | 4, 37 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 36, 38 | mpbid 147 |
. . . . . . . . 9
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40 | pnfge 9821 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 5, 40 | syl 14 |
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42 | 14, 5, 33, 12, 41 | xrltletrd 9843 |
. . . . . . . . . 10
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43 | npnflt 9847 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 14, 43 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 42, 44 | mpbid 147 |
. . . . . . . . 9
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46 | xaddnepnf 9890 |
. . . . . . . . 9
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47 | 4, 39, 14, 45, 46 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . 8
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48 | npnflt 9847 |
. . . . . . . . 9
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49 | 2, 48 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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50 | 47, 49 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | adantr 276 |
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63 | 52, 62 | sylan9eqr 2244 |
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64 | 51, 63 | breqtrrd 4046 |
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68 | 14, 67 | syl 14 |
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75 | 74 | adantlr 477 |
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93 | 86, 92 | eqbrtrd 4040 |
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96 | 79, 82, 93, 95 | mpjao3dan 1318 |
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97 | 96 | 3expia 1207 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-addcom 7942 ax-addass 7944 ax-i2m1 7947 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-ltadd 7958 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-fv 5243 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-xadd 9805 |
This theorem is referenced by: bldisj 14378 |
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