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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xlt2add | Unicode version |
Description: Extended real version of
lt2add 8074. Note that ltleadd 8075, which has
weaker assumptions, is not true for the extended reals (since
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Ref | Expression |
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xlt2add |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xaddcl 9484 |
. . . . . . . 8
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2 | 1 | 3ad2ant1 970 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | adantr 272 |
. . . . . 6
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4 | simp1l 973 |
. . . . . . . 8
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5 | simp2r 976 |
. . . . . . . 8
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6 | xaddcl 9484 |
. . . . . . . 8
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7 | 4, 5, 6 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | adantr 272 |
. . . . . 6
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9 | xaddcl 9484 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | 3ad2ant2 971 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | adantr 272 |
. . . . . 6
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12 | simp3r 978 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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14 | simp1r 974 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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16 | 5 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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17 | simprl 501 |
. . . . . . . 8
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18 | xltadd2 9501 |
. . . . . . . 8
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19 | 15, 16, 17, 18 | syl3anc 1184 |
. . . . . . 7
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20 | 13, 19 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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21 | simp3l 977 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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23 | 4 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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24 | simp2l 975 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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26 | simprr 502 |
. . . . . . . 8
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27 | xltadd1 9500 |
. . . . . . . 8
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28 | 23, 25, 26, 27 | syl3anc 1184 |
. . . . . . 7
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29 | 22, 28 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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30 | 3, 8, 11, 20, 29 | xrlttrd 9433 |
. . . . 5
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31 | 30 | anassrs 395 |
. . . 4
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32 | pnfxr 7690 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | pnfge 9416 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 24, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 4, 24, 33, 21, 35 | xrltletrd 9435 |
. . . . . . . . . 10
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37 | npnflt 9439 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 4, 37 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 36, 38 | mpbid 146 |
. . . . . . . . 9
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40 | pnfge 9416 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 5, 40 | syl 14 |
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42 | 14, 5, 33, 12, 41 | xrltletrd 9435 |
. . . . . . . . . 10
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43 | npnflt 9439 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 14, 43 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 42, 44 | mpbid 146 |
. . . . . . . . 9
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46 | xaddnepnf 9482 |
. . . . . . . . 9
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47 | 4, 39, 14, 45, 46 | syl22anc 1185 |
. . . . . . . 8
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48 | npnflt 9439 |
. . . . . . . . 9
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49 | 2, 48 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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50 | 47, 49 | mpbird 166 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | adantr 272 |
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64 | 51, 63 | breqtrrd 3901 |
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. . . . . 6
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68 | 14, 67 | syl 14 |
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75 | 74 | adantlr 464 |
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76 | elxr 9404 |
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92 | 91 | adantr 272 |
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93 | 86, 92 | eqbrtrd 3895 |
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96 | 79, 82, 93, 95 | mpjao3dan 1253 |
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97 | 96 | 3expia 1151 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-addcom 7595 ax-addass 7597 ax-i2m1 7600 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-ltadd 7611 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-fv 5067 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-xadd 9401 |
This theorem is referenced by: bldisj 12329 |
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