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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrmaxltsup | Unicode version |
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2023.) |
Ref | Expression |
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xrmaxltsup |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpl1 952 |
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2 | simpl2 953 |
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3 | xrmaxcl 10860 |
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4 | 1, 2, 3 | syl2anc 406 |
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5 | simpl3 954 |
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6 | xrmax1sup 10861 |
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7 | 6 | 3adant3 969 |
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8 | 7 | adantr 272 |
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9 | simpr 109 |
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10 | 1, 4, 5, 8, 9 | xrlelttrd 9434 |
. . 3
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11 | xrmax2sup 10862 |
. . . . 5
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12 | 1, 2, 11 | syl2anc 406 |
. . . 4
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13 | 2, 4, 5, 12, 9 | xrlelttrd 9434 |
. . 3
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14 | 10, 13 | jca 302 |
. 2
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15 | simplr 500 |
. . . . . . 7
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16 | simpllr 504 |
. . . . . . 7
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17 | xrmaxrecl 10863 |
. . . . . . 7
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18 | 15, 16, 17 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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19 | simp-4r 512 |
. . . . . . 7
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20 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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21 | maxltsup 10830 |
. . . . . . . 8
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22 | 15, 16, 20, 21 | syl3anc 1184 |
. . . . . . 7
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23 | 19, 22 | mpbird 166 |
. . . . . 6
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24 | 18, 23 | eqbrtrd 3895 |
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25 | simplr 500 |
. . . . . . . . 9
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26 | simpllr 504 |
. . . . . . . . 9
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27 | maxcl 10822 |
. . . . . . . . 9
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28 | 25, 26, 27 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
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29 | 17 | eleq1d 2168 |
. . . . . . . . 9
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30 | 25, 26, 29 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
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31 | 28, 30 | mpbird 166 |
. . . . . . 7
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32 | ltpnf 9408 |
. . . . . . 7
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33 | 31, 32 | syl 14 |
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34 | simpr 109 |
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35 | 33, 34 | breqtrrd 3901 |
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36 | simprl 501 |
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37 | 36 | ad3antrrr 479 |
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38 | nltmnf 9415 |
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39 | 38 | 3ad2ant1 970 |
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40 | 39 | ad4antr 481 |
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41 | simpr 109 |
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42 | 41 | breq2d 3887 |
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43 | 40, 42 | mtbird 639 |
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44 | 37, 43 | pm2.21dd 590 |
. . . . 5
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45 | elxr 9404 |
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46 | 45 | biimpi 119 |
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47 | 46 | 3ad2ant3 972 |
. . . . . 6
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48 | 47 | ad3antrrr 479 |
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49 | 24, 35, 44, 48 | mpjao3dan 1253 |
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50 | 36 | ad2antrr 475 |
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51 | pnfnlt 9414 |
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52 | 51 | 3ad2ant3 972 |
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53 | 52 | ad3antrrr 479 |
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55 | 54 | breq1d 3885 |
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57 | 50, 56 | pm2.21dd 590 |
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58 | simpr 109 |
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59 | mnfle 9419 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | 3ad2ant2 971 |
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61 | 60 | ad3antrrr 479 |
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62 | 58, 61 | eqbrtrd 3895 |
. . . . . 6
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63 | simp1 949 |
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64 | 63 | ad3antrrr 479 |
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65 | simp2 950 |
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66 | 65 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . 7
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67 | xrmaxleim 10852 |
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68 | 64, 66, 67 | syl2anc 406 |
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69 | 62, 68 | mpd 13 |
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70 | simprr 502 |
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71 | 70 | ad2antrr 475 |
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72 | 69, 71 | eqbrtrd 3895 |
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73 | elxr 9404 |
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74 | 73 | biimpi 119 |
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75 | 74 | 3ad2ant1 970 |
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76 | 75 | ad2antrr 475 |
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77 | 49, 57, 72, 76 | mpjao3dan 1253 |
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78 | simplrr 506 |
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79 | breq1 3878 |
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82 | 52 | ad2antrr 475 |
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83 | 81, 82 | pm2.21dd 590 |
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84 | prcom 3546 |
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85 | 84 | supeq1i 6790 |
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86 | simpr 109 |
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87 | mnfle 9419 |
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88 | 87 | 3ad2ant1 970 |
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89 | 88 | ad2antrr 475 |
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90 | 86, 89 | eqbrtrd 3895 |
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91 | simpll2 989 |
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93 | xrmaxleim 10852 |
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94 | 91, 92, 93 | syl2anc 406 |
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95 | 90, 94 | mpd 13 |
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96 | 85, 95 | syl5eqr 2146 |
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97 | simplrl 505 |
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98 | 96, 97 | eqbrtrd 3895 |
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99 | elxr 9404 |
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103 | 77, 83, 98, 102 | mpjao3dan 1253 |
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104 | 14, 103 | impbida 566 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 ax-arch 7614 ax-caucvg 7615 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-frec 6218 df-sup 6786 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-2 8637 df-3 8638 df-4 8639 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-rp 9292 df-seqfrec 10060 df-exp 10134 df-cj 10455 df-re 10456 df-im 10457 df-rsqrt 10610 df-abs 10611 |
This theorem is referenced by: xrmaxadd 10869 xrltmininf 10878 iooinsup 10885 |
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