ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicc2 Unicode version
Theorem elicc2 10319
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 8361 . . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2 rexr 8361 . . 3 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3 elicc1 10305 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41, 2, 3syl2an 289 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5 mnfxr 8372 . . . . . . . 8 |- -oo e. RR*
65a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo e. RR* )
71ad2antrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A e. RR* )
8 simpr1 1034 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR* )
9 mnflt 10164 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> -oo < A )
109ad2antrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < A )
11 simpr2 1035 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A <_ C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 10192 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < C )
132ad2antlr 493 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B e. RR* )
14 pnfxr 8368 . . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
1514a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> +oo e. RR* )
16 simpr3 1036 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C <_ B )
17 ltpnf 10161 . . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < +oo )
1817ad2antlr 493 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B < +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 10191 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C < +oo )
20 xrrebnd 10200 . . . . . . 7 |- ( C e. RR* -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
218, 20syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 957 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR )
2322, 11, 163jca 1208 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2423ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
25 rexr 8361 . . . 4 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
26253anim1i 1216 . . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2724, 26impbid1 142 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
284, 27bitrd 188 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   +oocpnf 8347   -oocmnf 8348   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   [,]cicc 10272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-icc 10276
This theorem is referenced by:  elicc2i  10320  iccssre  10336  iccsupr  10347  iccneg  10370  iccshftr  10375  iccshftl  10377  iccdil  10379  icccntr  10381  lincmble  10385  iccf1o  10386  suplociccreex  15648  suplociccex  15649  ivthinclemlopn  15660  ivthinclemuopn  15662
  Copyright terms: Public domain W3C validator