ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicc2 Unicode version
Theorem elicc2 10290
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 8335 . . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2 rexr 8335 . . 3 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3 elicc1 10276 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41, 2, 3syl2an 289 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5 mnfxr 8346 . . . . . . . 8 |- -oo e. RR*
65a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo e. RR* )
71ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A e. RR* )
8 simpr1 1030 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR* )
9 mnflt 10135 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> -oo < A )
109ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < A )
11 simpr2 1031 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A <_ C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 10163 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < C )
132ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B e. RR* )
14 pnfxr 8342 . . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
1514a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> +oo e. RR* )
16 simpr3 1032 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C <_ B )
17 ltpnf 10132 . . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < +oo )
1817ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B < +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 10162 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C < +oo )
20 xrrebnd 10171 . . . . . . 7 |- ( C e. RR* -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
218, 20syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 953 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR )
2322, 11, 163jca 1204 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2423ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
25 rexr 8335 . . . 4 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
26253anim1i 1212 . . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2724, 26impbid1 142 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
284, 27bitrd 188 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   +oocpnf 8321   -oocmnf 8322   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325   [,]cicc 10243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-icc 10247
This theorem is referenced by:  elicc2i  10291  iccssre  10307  iccsupr  10318  iccneg  10341  iccshftr  10346  iccshftl  10348  iccdil  10350  icccntr  10352  lincmble  10356  iccf1o  10357  suplociccreex  15615  suplociccex  15616  ivthinclemlopn  15627  ivthinclemuopn  15629
  Copyright terms: Public domain W3C validator