ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicc2 Unicode version
Theorem elicc2 9356
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 7533 . . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2 rexr 7533 . . 3 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3 elicc1 9342 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5 mnfxr 7544 . . . . . . . 8 |- -oo e. RR*
65a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo e. RR* )
71ad2antrr 472 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A e. RR* )
8 simpr1 949 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR* )
9 mnflt 9253 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> -oo < A )
109ad2antrr 472 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < A )
11 simpr2 950 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A <_ C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 9276 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < C )
132ad2antlr 473 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B e. RR* )
14 pnfxr 7540 . . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
1514a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> +oo e. RR* )
16 simpr3 951 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C <_ B )
17 ltpnf 9251 . . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < +oo )
1817ad2antlr 473 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B < +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 9275 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C < +oo )
20 xrrebnd 9281 . . . . . . 7 |- ( C e. RR* -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
218, 20syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 890 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR )
2322, 11, 163jca 1123 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2423ex 113 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
25 rexr 7533 . . . 4 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
26253anim1i 1129 . . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2724, 26impbid1 140 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
284, 27bitrd 186 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 924   e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   +oocpnf 7519   -oocmnf 7520   RR*cxr 7521   < clt 7522   <_ cle 7523   [,]cicc 9309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-icc 9313
This theorem is referenced by:  elicc2i  9357  iccssre  9373  iccsupr  9384  iccneg  9406  iccshftr  9411  iccshftl  9413  iccdil  9415  icccntr  9417  iccf1o  9421
  Copyright terms: Public domain W3C validator