ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicc2 Unicode version
Theorem elicc2 9895
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 7965 . . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2 rexr 7965 . . 3 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3 elicc1 9881 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41, 2, 3syl2an 287 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5 mnfxr 7976 . . . . . . . 8 |- -oo e. RR*
65a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo e. RR* )
71ad2antrr 485 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A e. RR* )
8 simpr1 998 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR* )
9 mnflt 9740 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> -oo < A )
109ad2antrr 485 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < A )
11 simpr2 999 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A <_ C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 9768 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < C )
132ad2antlr 486 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B e. RR* )
14 pnfxr 7972 . . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
1514a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> +oo e. RR* )
16 simpr3 1000 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C <_ B )
17 ltpnf 9737 . . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < +oo )
1817ad2antlr 486 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B < +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 9767 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C < +oo )
20 xrrebnd 9776 . . . . . . 7 |- ( C e. RR* -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
218, 20syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 939 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR )
2322, 11, 163jca 1172 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2423ex 114 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
25 rexr 7965 . . . 4 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
26253anim1i 1180 . . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2724, 26impbid1 141 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
284, 27bitrd 187 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   +oocpnf 7951   -oocmnf 7952   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   [,]cicc 9848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-icc 9852
This theorem is referenced by:  elicc2i  9896  iccssre  9912  iccsupr  9923  iccneg  9946  iccshftr  9951  iccshftl  9953  iccdil  9955  icccntr  9957  iccf1o  9961  suplociccreex  13396  suplociccex  13397  ivthinclemlopn  13408  ivthinclemuopn  13410
  Copyright terms: Public domain W3C validator