Theorem 1p1times 7713

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1p1times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7535	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 2, 3	adddird 7610	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
5		mulid2 7583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
6	5, 5	oveq12d 5708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
7	4, 6	eqtrd 2127	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-mulcl 7540  ax-mulcom 7543  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-1rid 7549  ax-cnre 7553

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-iota 5014  df-fv 5057  df-ov 5693

This theorem is referenced by:  eqneg  8296  2times  8642