Theorem 1p1times 8453

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1p1times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8265	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 2, 3	adddird 8344	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
5		mullid 8317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
6	5, 5	oveq12d 6096	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
7	4, 6	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6078  ℂcc 8170  1c1 8173   + caddc 8175   · cmul 8177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-mulcl 8270  ax-mulcom 8273  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-1rid 8279  ax-cnre 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6081

This theorem is referenced by:  eqneg  9055  2times  9414