Theorem 1p1times 8032

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1p1times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7846	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 2, 3	adddird 7924	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
5		mulid2 7897	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
6	5, 5	oveq12d 5860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
7	4, 6	eqtrd 2198	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-mulcl 7851  ax-mulcom 7854  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-1rid 7860  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845

This theorem is referenced by:  eqneg  8628  2times  8985