Theorem mullid 8024

Description: Identity law for multiplication. Note: see mulrid 8023 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7972	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 8008	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulrid 8023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  1c1 7880   · cmul 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-mulcl 7977  ax-mulcom 7980  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-1rid 7986  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925

This theorem is referenced by:  mullidi  8029  mullidd  8044  mulid2d  8045  muladd11  8159  1p1times  8160  mulm1  8426  div1  8730  recdivap  8745  divdivap2  8751  conjmulap  8756  expp1  10638  recan  11274  arisum  11663  geo2sum  11679  prodrbdclem  11736  prodmodclem2a  11741  demoivreALT  11939  gcdadd  12152  gcdid  12153  cncrng  14125  cnfld1  14128