Theorem mullid 8160

Description: Identity law for multiplication. Note: see mulrid 8159 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8108	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 8144	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulrid 8159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  1c1 8016   · cmul 8020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-mulcl 8113  ax-mulcom 8116  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-1rid 8122  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5281  df-fv 5329  df-ov 6013

This theorem is referenced by:  mullidi  8165  mullidd  8180  mulid2d  8181  muladd11  8295  1p1times  8296  mulm1  8562  div1  8866  recdivap  8881  divdivap2  8887  conjmulap  8892  expp1  10785  recan  11641  arisum  12030  geo2sum  12046  prodrbdclem  12103  prodmodclem2a  12108  demoivreALT  12306  gcdadd  12527  gcdid  12528  cncrng  14554  cnfld1  14557