Theorem 2times 9435

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9366	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 6095	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 8462	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2283	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185  2c2 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-mulcl 8278  ax-mulcom 8281  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-1rid 8287  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-2 9366

This theorem is used by:  times2  9436  2timesi  9437  2txmxeqx  9439  2halves  9539  halfaddsub  9544  avglt2  9550  2timesd  9553  expubnd  11048  subsq2  11099  sinmul  12530  sin2t  12535  cos2t  12536  pythagtriplem4  13070  pythagtriplem14  13079  pythagtriplem16  13081  pellexlem2  16191