Theorem 2times 9184

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9115	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 5967	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 8226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2251	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  1c1 7946   + caddc 7948   · cmul 7950  2c2 9107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-mulcl 8043  ax-mulcom 8046  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-1rid 8052  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-2 9115

This theorem is referenced by:  times2  9185  2timesi  9186  2txmxeqx  9188  2halves  9286  halfaddsub  9291  avglt2  9297  2timesd  9300  expubnd  10763  subsq2  10814  sinmul  12130  sin2t  12135  cos2t  12136  pythagtriplem4  12666  pythagtriplem14  12675  pythagtriplem16  12677