Theorem 2times 8999

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 8930	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 5861	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 8046	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5851  ℂcc 7765  1c1 7768   + caddc 7770   · cmul 7772  2c2 8922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-mulcl 7865  ax-mulcom 7868  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-1rid 7874  ax-cnre 7878

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5854  df-2 8930

This theorem is referenced by:  times2  9000  2timesi  9001  2halves  9100  halfaddsub  9105  avglt2  9110  2timesd  9113  expubnd  10526  subsq2  10576  sinmul  11700  sin2t  11705  cos2t  11706  pythagtriplem4  12215  pythagtriplem14  12224  pythagtriplem16  12226