ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqneg GIF version

Theorem eqneg 8665
Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
eqneg (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴𝐴 = 0))

Proof of Theorem eqneg
StepHypRef Expression
1 1p1times 8068 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2 ax-1cn 7882 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
32, 2addcli 7939 . . . . 5 (1 + 1) ∈ ℂ
43mul01i 8325 . . . 4 ((1 + 1) · 0) = 0
5 negid 8181 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
64, 5eqtr4id 2229 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 0) = (𝐴 + -𝐴))
71, 6eqeq12d 2192 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴)))
8 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9 0cnd 7928 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
103a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ∈ ℂ)
11 1re 7934 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
1211, 11readdcli 7948 . . . . 5 (1 + 1) ∈ ℝ
13 0lt1 8061 . . . . . 6 0 < 1
1411, 11, 13, 13addgt0ii 8425 . . . . 5 0 < (1 + 1)
1512, 14gt0ap0ii 8562 . . . 4 (1 + 1) # 0
1615a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) # 0)
178, 9, 10, 16mulcanapd 8594 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ 𝐴 = 0))
18 negcl 8134 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
198, 8, 18addcand 8118 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴) ↔ 𝐴 = -𝐴))
207, 17, 193bitr3rd 219 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴𝐴 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  cc 7787  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792   · cmul 7794  -cneg 8106   # cap 8515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516
This theorem is referenced by:  eqnegd  8666  eqnegi  8674
  Copyright terms: Public domain W3C validator