Theorem adddird 8168

Description: Distributive law (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
adddird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem adddird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		adddir 8133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  ℂcc 7993   + caddc 7998   · cmul 8000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-addcl 8091  ax-mulcom 8096  ax-distr 8099

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8169  joinlmuladdmuld  8170  1p1times  8276  recextlem1  8794  divdirap  8840  subsq  10863  subsq2  10864  binom2  10868  binom3  10874  remullem  11377  resqrexlemover  11516  resqrexlemcalc1  11520  bdtrilem  11745  binomlem  11989  mul4sqlem  12911  dvexp  15379  plyaddlem1  15415  rpcxpadd  15573  binom4  15647  lgsquad2lem1  15754  2sqlem4  15791