ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  adddird GIF version

Theorem adddird 7755
Description: Distributive law (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
addcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addassd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
adddird (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem adddird
StepHypRef Expression
1 addcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addassd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 adddir 7721 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1199 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1314  wcel 1463  (class class class)co 5740  cc 7582   + caddc 7587   · cmul 7589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-addcl 7680  ax-mulcom 7685  ax-distr 7688
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743
This theorem is referenced by:  adddirp1d  7756  joinlmuladdmuld  7757  1p1times  7860  recextlem1  8372  divdirap  8417  subsq  10339  subsq2  10340  binom2  10343  binom3  10349  remullem  10583  resqrexlemover  10722  resqrexlemcalc1  10726  bdtrilem  10950  binomlem  11192  dvexp  12727
  Copyright terms: Public domain W3C validator