Theorem adddird 7924

Description: Distributive law (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
adddird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem adddird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		adddir 7890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   + caddc 7756   · cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-addcl 7849  ax-mulcom 7854  ax-distr 7857

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845

This theorem is referenced by:  adddirp1d  7925  joinlmuladdmuld  7926  1p1times  8032  recextlem1  8548  divdirap  8593  subsq  10561  subsq2  10562  binom2  10566  binom3  10572  remullem  10813  resqrexlemover  10952  resqrexlemcalc1  10956  bdtrilem  11180  binomlem  11424  mul4sqlem  12323  dvexp  13315  rpcxpadd  13466  binom4  13537  2sqlem4  13594