Theorem bj-omind 16721

Description: ω is an inductive class. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omind	⊢ Ind ω

Proof of Theorem bj-omind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-indint 16718	. 2 ⊢ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}
2		bj-dfom 16720	. . . 4 ⊢ ω = ∩ {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
3		rabab 2837	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} = {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
4	3	inteqi 3955	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} = ∩ {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
5	2, 4	eqtr4i 2258	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}
6		bj-indeq 16716	. . 3 ⊢ (ω = ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} → (Ind ω ↔ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ind ω ↔ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥})
8	1, 7	mpbir 146	1 ⊢ Ind ω

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398  {cab 2220  {crab 2526  Vcvv 2815  ∩ cint 3951  ωcom 4714  Ind wind 16713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-nul 4238  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-bd0 16600  ax-bdor 16603  ax-bdex 16606  ax-bdeq 16607  ax-bdel 16608  ax-bdsb 16609  ax-bdsep 16671

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-nul 3511  df-sn 3697  df-pr 3698  df-uni 3917  df-int 3952  df-suc 4494  df-iom 4715  df-bdc 16628  df-bj-ind 16714

This theorem is referenced by:  bj-om  16724  bj-peano2  16726  peano5set  16727