Theorem bj-omind 16943

Description: ω is an inductive class. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omind	⊢ Ind ω

Proof of Theorem bj-omind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-indint 16940	. 2 ⊢ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}
2		bj-dfom 16942	. . . 4 ⊢ ω = ∩ {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
3		rabab 2843	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} = {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
4	3	inteqi 3972	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} = ∩ {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
5	2, 4	eqtr4i 2262	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}
6		bj-indeq 16938	. . 3 ⊢ (ω = ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} → (Ind ω ↔ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ind ω ↔ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥})
8	1, 7	mpbir 146	1 ⊢ Ind ω

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1402  {cab 2224  {crab 2532  Vcvv 2821  ∩ cint 3968  ωcom 4735  Ind wind 16935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4257  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-bd0 16822  ax-bdor 16825  ax-bdex 16828  ax-bdeq 16829  ax-bdel 16830  ax-bdsep 16893

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-nul 3521  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-suc 4514  df-iom 4736  df-bj-ind 16936

This theorem is referenced by:  bj-om  16946  bj-peano2  16948  peano5set  16949