Theorem bj-omind 13132

Description: ω is an inductive class. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omind	⊢ Ind ω

Proof of Theorem bj-omind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-indint 13129	. 2 ⊢ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}
2		bj-dfom 13131	. . . 4 ⊢ ω = ∩ {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
3		rabab 2707	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} = {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
4	3	inteqi 3775	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} = ∩ {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
5	2, 4	eqtr4i 2163	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}
6		bj-indeq 13127	. . 3 ⊢ (ω = ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} → (Ind ω ↔ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ind ω ↔ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥})
8	1, 7	mpbir 145	1 ⊢ Ind ω

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1331  {cab 2125  {crab 2420  Vcvv 2686  ∩ cint 3771  ωcom 4504  Ind wind 13124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-nul 4054  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-bd0 13011  ax-bdor 13014  ax-bdex 13017  ax-bdeq 13018  ax-bdel 13019  ax-bdsb 13020  ax-bdsep 13082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-nul 3364  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-suc 4293  df-iom 4505  df-bdc 13039  df-bj-ind 13125

This theorem is referenced by:  bj-om  13135  bj-peano2  13137  peano5set  13138