Theorem bj-omind 15426

Description: ω is an inductive class. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omind	⊢ Ind ω

Proof of Theorem bj-omind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-indint 15423	. 2 ⊢ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}
2		bj-dfom 15425	. . . 4 ⊢ ω = ∩ {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
3		rabab 2781	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} = {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
4	3	inteqi 3874	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} = ∩ {𝑥 ∣ Ind 𝑥}
5	2, 4	eqtr4i 2217	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}
6		bj-indeq 15421	. . 3 ⊢ (ω = ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥} → (Ind ω ↔ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ind ω ↔ Ind ∩ {𝑥 ∈ V ∣ Ind 𝑥})
8	1, 7	mpbir 146	1 ⊢ Ind ω

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364  {cab 2179  {crab 2476  Vcvv 2760  ∩ cint 3870  ωcom 4622  Ind wind 15418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-nul 4155  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-bd0 15305  ax-bdor 15308  ax-bdex 15311  ax-bdeq 15312  ax-bdel 15313  ax-bdsb 15314  ax-bdsep 15376

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3447  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-suc 4402  df-iom 4623  df-bdc 15333  df-bj-ind 15419

This theorem is referenced by:  bj-om  15429  bj-peano2  15431  peano5set  15432