Theorem bj-om 13972

Description: A set is equal to ω if and only if it is the smallest inductive set. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-om	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ω ↔ (Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem bj-om

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 13969	. . . 4 ⊢ Ind ω
2		bj-indeq 13964	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ω → (Ind 𝐴 ↔ Ind ω))
3	1, 2	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝐴 = ω → Ind 𝐴)
4		vex 2733	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		bj-omssind 13970	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (Ind 𝑥 → ω ⊆ 𝑥))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (Ind 𝑥 → ω ⊆ 𝑥)
7		sseq1 3170	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ω → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ω ⊆ 𝑥))
8	6, 7	syl5ibr 155	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ω → (Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
9	8	alrimiv 1867	. . 3 ⊢ (𝐴 = ω → ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
10	3, 9	jca 304	. 2 ⊢ (𝐴 = ω → (Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥)))
11		bj-ssom 13971	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ ω)
12	11	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥) → 𝐴 ⊆ ω)
13	12	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥)) → 𝐴 ⊆ ω)
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥)) → 𝐴 ⊆ ω))
15		bj-omssind 13970	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Ind 𝐴 → ω ⊆ 𝐴))
16	15	adantrd 277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥)) → ω ⊆ 𝐴))
17	14, 16	jcad 305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥)) → (𝐴 ⊆ ω ∧ ω ⊆ 𝐴)))
18		eqss 3162	. . 3 ⊢ (𝐴 = ω ↔ (𝐴 ⊆ ω ∧ ω ⊆ 𝐴))
19	17, 18	syl6ibr 161	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥)) → 𝐴 = ω))
20	10, 19	impbid2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ω ↔ (Ind 𝐴 ∧ ∀𝑥(Ind 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1346   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121  ωcom 4574  Ind wind 13961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-nul 4115  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-bd0 13848  ax-bdor 13851  ax-bdex 13854  ax-bdeq 13855  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857  ax-bdsep 13919

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575  df-bdc 13876  df-bj-ind 13962

This theorem is referenced by:  bj-2inf  13973  bj-inf2vn  14009  bj-inf2vn2  14010