ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pr2nelem GIF version

Theorem pr2nelem 6766
Description: Lemma for pr2ne 6767. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelem ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem pr2nelem
StepHypRef Expression
1 disjsn2 3490 . . 3 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2 ensn1g 6468 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3 ensn1g 6468 . . . . 5 (𝐵𝐷 → {𝐵} ≈ 1𝑜)
4 pm54.43 6765 . . . . . . 7 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ {𝐵} ≈ 1𝑜) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2𝑜))
5 df-pr 3438 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
65breq1i 3829 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2𝑜)
74, 6syl6bbr 196 . . . . . 6 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ {𝐵} ≈ 1𝑜) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
87biimpd 142 . . . . 5 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ {𝐵} ≈ 1𝑜) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
92, 3, 8syl2an 283 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
109ex 113 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
111, 10syl7 68 . 2 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
12113imp 1135 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251  cun 2986  cin 2987  c0 3275  {csn 3431  {cpr 3432   class class class wbr 3822  1𝑜c1o 6130  2𝑜c2o 6131  cen 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-1o 6137  df-2o 6138  df-er 6246  df-en 6412
This theorem is referenced by:  pr2ne  6767
  Copyright terms: Public domain W3C validator