Theorem pr2nelem 7258

Description: Lemma for pr2ne 7259. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pr2nelem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pr2nelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn2 3685	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2		ensn1g 6856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3		ensn1g 6856	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
4		pm54.43 7257	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o))
5		df-pr 3629	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
6	5	breq1i 4040	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o)
7	4, 6	bitr4di 198	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
8	7	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
9	2, 3, 8	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
10	9	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
11	1, 10	syl7 69	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
12	11	3imp 1195	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156  ∅c0 3450  {csn 3622  {cpr 3623   class class class wbr 4033  1_oc1o 6467  2_oc2o 6468   ≈ cen 6797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800

This theorem is referenced by:  pr2ne  7259