Theorem setsfun0 12452

Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 12451 is useful for proofs based on isstruct2r 12427 which requires Fun (𝐹 ∖ {∅}) for 𝐹 to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun0	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsfun0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5239	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2	1	ad2antlr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3		funsng 5244	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
4	3	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
5		dmres 4912	. . . . . . 7 ⊢ dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
6	5	ineq1i 3324	. . . . . 6 ⊢ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7		in32 3339	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
8		incom 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
9		disjdif 3487	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ∅
10	8, 9	eqtri 2191	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
11	10	ineq1i 3324	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
12		0in 3450	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
13	7, 11, 12	3eqtri 2195	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
14	6, 13	eqtri 2191	. . . . 5 ⊢ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
15	14	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
16		funun 5242	. . . 4 ⊢ (((Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
17	2, 4, 15, 16	syl21anc 1232	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
18		difundir 3380	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}))
19		resdifcom 4909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
20	19	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21		elex 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ V)
22		elex 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → 𝐸 ∈ V)
23		opm 4219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ↔ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
24		n0r 3428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐼, 𝐸⟩ → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
25	23, 24	sylbir 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
26	21, 22, 25	syl2an 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
27	26	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
28		disjsn2 3646	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅)
29		disjdif2 3493	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
30	27, 28, 29	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
31	20, 30	uneq12d 3282	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅})) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
32	18, 31	eqtrid 2215	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
33	32	funeqd 5220	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
34	17, 33	mpbird 166	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
35		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
36		opexg 4213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
37	36	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
38		setsvalg 12446	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
39	35, 37, 38	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
40	39	difeq1d 3244	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
41	40	funeqd 5220	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
42	34, 41	mpbird 166	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120  ∅c0 3414  {csn 3583  ⟨cop 3586  dom cdm 4611   ↾ cres 4613  Fun wfun 5192  (class class class)co 5853   sSet csts 12414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sets 12423

This theorem is referenced by:  setsn0fun  12453