ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsfun0 GIF version

Theorem setsfun0 11922
Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 11921 is useful for proofs based on isstruct2r 11897 which requires Fun (𝐹 ∖ {∅}) for 𝐹 to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun0 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsfun0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funres 5134 . . . . 5 (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21ad2antlr 480 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3 funsng 5139 . . . . 5 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
43adantl 275 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
5 dmres 4810 . . . . . . 7 dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
65ineq1i 3243 . . . . . 6 (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7 in32 3258 . . . . . . 7 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
8 incom 3238 . . . . . . . . 9 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
9 disjdif 3405 . . . . . . . . 9 (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ∅
108, 9eqtri 2138 . . . . . . . 8 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1110ineq1i 3243 . . . . . . 7 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
12 0in 3368 . . . . . . 7 (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
137, 11, 123eqtri 2142 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
146, 13eqtri 2138 . . . . 5 (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1514a1i 9 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
16 funun 5137 . . . 4 (((Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
172, 4, 15, 16syl21anc 1200 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
18 difundir 3299 . . . . 5 (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}))
19 resdifcom 4807 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2019a1i 9 . . . . . 6 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21 elex 2671 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑈𝐼 ∈ V)
22 elex 2671 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑊𝐸 ∈ V)
23 opm 4126 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ↔ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
24 n0r 3346 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐼, 𝐸⟩ → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
2523, 24sylbir 134 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
2621, 22, 25syl2an 287 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
2726adantl 275 . . . . . . 7 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
28 disjsn2 3556 . . . . . . 7 (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅)
29 disjdif2 3411 . . . . . . 7 (({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
3027, 28, 293syl 17 . . . . . 6 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
3120, 30uneq12d 3201 . . . . 5 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅})) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3218, 31syl5eq 2162 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3332funeqd 5115 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3417, 33mpbird 166 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
35 simpll 503 . . . . 5 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → 𝐺𝑉)
36 opexg 4120 . . . . . 6 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
3736adantl 275 . . . . 5 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
38 setsvalg 11916 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3935, 37, 38syl2anc 408 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
4039difeq1d 3163 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
4140funeqd 5115 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
4234, 41mpbird 166 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wex 1453  wcel 1465  wne 2285  Vcvv 2660  cdif 3038  cun 3039  cin 3040  c0 3333  {csn 3497  cop 3500  dom cdm 4509  cres 4511  Fun wfun 5087  (class class class)co 5742   sSet csts 11884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sets 11893
This theorem is referenced by:  setsn0fun  11923
  Copyright terms: Public domain W3C validator