Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsfun0 GIF version

Theorem setsfun0 11695
 Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 11694 is useful for proofs based on isstruct2r 11670 which requires Fun (𝐹 ∖ {∅}) for 𝐹 to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun0 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsfun0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funres 5089 . . . . 5 (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21ad2antlr 474 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3 funsng 5094 . . . . 5 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
43adantl 272 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
5 dmres 4766 . . . . . . 7 dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
65ineq1i 3212 . . . . . 6 (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7 in32 3227 . . . . . . 7 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
8 incom 3207 . . . . . . . . 9 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
9 disjdif 3374 . . . . . . . . 9 (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ∅
108, 9eqtri 2115 . . . . . . . 8 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1110ineq1i 3212 . . . . . . 7 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
12 0in 3337 . . . . . . 7 (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
137, 11, 123eqtri 2119 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
146, 13eqtri 2115 . . . . 5 (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1514a1i 9 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
16 funun 5092 . . . 4 (((Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
172, 4, 15, 16syl21anc 1180 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
18 difundir 3268 . . . . 5 (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}))
19 resdifcom 4763 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2019a1i 9 . . . . . 6 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21 elex 2644 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑈𝐼 ∈ V)
22 elex 2644 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑊𝐸 ∈ V)
23 opm 4085 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ↔ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
24 n0r 3315 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐼, 𝐸⟩ → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
2523, 24sylbir 134 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
2621, 22, 25syl2an 284 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
2726adantl 272 . . . . . . 7 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
28 disjsn2 3525 . . . . . . 7 (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅)
29 disjdif2 3380 . . . . . . 7 (({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
3027, 28, 293syl 17 . . . . . 6 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
3120, 30uneq12d 3170 . . . . 5 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅})) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3218, 31syl5eq 2139 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3332funeqd 5071 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3417, 33mpbird 166 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
35 simpll 497 . . . . 5 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → 𝐺𝑉)
36 opexg 4079 . . . . . 6 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
3736adantl 272 . . . . 5 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
38 setsvalg 11689 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3935, 37, 38syl2anc 404 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
4039difeq1d 3132 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
4140funeqd 5071 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
4234, 41mpbird 166 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296  ∃wex 1433   ∈ wcel 1445   ≠ wne 2262  Vcvv 2633   ∖ cdif 3010   ∪ cun 3011   ∩ cin 3012  ∅c0 3302  {csn 3466  ⟨cop 3469  dom cdm 4467   ↾ cres 4469  Fun wfun 5043  (class class class)co 5690   sSet csts 11657 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-res 4479  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sets 11666 This theorem is referenced by:  setsn0fun  11696
 Copyright terms: Public domain W3C validator