Theorem funprg 5429

Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1052	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simp2l 1054	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
3		funsng 5425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5		simp1r 1053	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		simp2r 1055	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑌)
7		funsng 5425	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
8	5, 6, 7	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
9		dmsnopg 5257	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
10	2, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
11		dmsnopg 5257	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
13	10, 12	ineq12d 3433	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
14		disjsn2 3771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
15	14	3ad2ant3 1051	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
16	13, 15	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
17		funun 5420	. . 3 ⊢ (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
18	4, 8, 16, 17	syl21anc 1277	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
19		df-pr 3715	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
20	19	funeqi 5396	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
21	18, 20	sylibr 134	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  {csn 3708  {cpr 3709  ⟨cop 3711  dom cdm 4772  Fun wfun 5369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-fun 5377

This theorem is referenced by:  funtpg  5430  funpr  5431  fnprg  5434  2strbasg  13457  2stropg  13458