Theorem prfidisj 7100

Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where 𝐴 = 𝐵, see snfig 6975. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3775, prprc2 3776, or prprc 3777. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prfidisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Proof of Theorem prfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3673	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfig 6975	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
3		snfig 6975	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵} ∈ Fin)
4		disjsn2 3729	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
5		unfidisj 7095	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1313	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2316	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  {csn 3666  {cpr 3667  Fincfn 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898

This theorem is referenced by:  prfidceq  7101  tpfidisj  7102  fiprsshashgt1  11052  sumpr  11939