ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prfidisj GIF version

Theorem prfidisj 6956
Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where 𝐴 = 𝐵, see snfig 6841. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3715, prprc2 3716, or prprc 3717. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
prfidisj ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Proof of Theorem prfidisj
StepHypRef Expression
1 df-pr 3614 . 2 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2 snfig 6841 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
3 snfig 6841 . . 3 (𝐵𝑊 → {𝐵} ∈ Fin)
4 disjsn2 3670 . . 3 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
5 unfidisj 6951 . . 3 (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
62, 3, 4, 5syl3an 1291 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
71, 6eqeltrid 2276 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  cun 3142  cin 3143  c0 3437  {csn 3607  {cpr 3608  Fincfn 6767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1o 6442  df-er 6560  df-en 6768  df-fin 6770
This theorem is referenced by:  tpfidisj  6957  fiprsshashgt1  10832  sumpr  11456
  Copyright terms: Public domain W3C validator