ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prfidisj GIF version

Theorem prfidisj 6744
Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where 𝐴 = 𝐵, see snfig 6638. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3578, prprc2 3579, or prprc 3580. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
prfidisj ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Proof of Theorem prfidisj
StepHypRef Expression
1 df-pr 3481 . 2 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2 snfig 6638 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
3 snfig 6638 . . 3 (𝐵𝑊 → {𝐵} ∈ Fin)
4 disjsn2 3533 . . 3 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
5 unfidisj 6739 . . 3 (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
62, 3, 4, 5syl3an 1226 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
71, 6syl5eqel 2186 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  wne 2267  cun 3019  cin 3020  c0 3310  {csn 3474  {cpr 3475  Fincfn 6564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-1o 6243  df-er 6359  df-en 6565  df-fin 6567
This theorem is referenced by:  tpfidisj  6745  fiprsshashgt1  10404  sumpr  11021
  Copyright terms: Public domain W3C validator