Theorem prfidisj 7118

Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where 𝐴 = 𝐵, see snfig 6988. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3780, prprc2 3781, or prprc 3782. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prfidisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Proof of Theorem prfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3676	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfig 6988	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
3		snfig 6988	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵} ∈ Fin)
4		disjsn2 3732	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
5		unfidisj 7113	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1315	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2318	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199  ∅c0 3494  {csn 3669  {cpr 3670  Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  prfidceq  7119  tpfidisj  7120  fiprsshashgt1  11080  sumpr  11973