ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enpr2d GIF version

Theorem enpr2d 6810
Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
enpr2d.1 (𝜑𝐴𝐶)
enpr2d.2 (𝜑𝐵𝐷)
enpr2d.3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
enpr2d (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d
StepHypRef Expression
1 enpr2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2 ensn1g 6790 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4 enpr2d.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
5 1on 6417 . . . . 5 1o ∈ On
6 en2sn 6806 . . . . 5 ((𝐵𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
74, 5, 6sylancl 413 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8 enpr2d.3 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
98neqned 2354 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
10 disjsn2 3654 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
119, 10syl 14 . . . 4 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
125onirri 4538 . . . . . 6 ¬ 1o ∈ 1o
1312a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14 disjsn 3653 . . . . 5 ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
1513, 14sylibr 134 . . . 4 (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16 unen 6809 . . . 4 ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
173, 7, 11, 15, 16syl22anc 1239 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18 df-pr 3598 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19 df-suc 4367 . . 3 suc 1o = (1o ∪ {1o})
2017, 18, 193brtr4g 4034 . 2 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21 df-2o 6411 . 2 2o = suc 1o
2220, 21breqtrrdi 4042 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  cun 3127  cin 3128  c0 3422  {csn 3591  {cpr 3592   class class class wbr 4000  Oncon0 4359  suc csuc 4361  1oc1o 6403  2oc2o 6404  cen 6731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-1o 6410  df-2o 6411  df-er 6528  df-en 6734
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator