ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enpr2d GIF version

Theorem enpr2d 6997
Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
enpr2d.1 (𝜑𝐴𝐶)
enpr2d.2 (𝜑𝐵𝐷)
enpr2d.3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
enpr2d (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d
StepHypRef Expression
1 enpr2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2 ensn1g 6971 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4 enpr2d.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
5 1on 6589 . . . . 5 1o ∈ On
6 en2sn 6988 . . . . 5 ((𝐵𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
74, 5, 6sylancl 413 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8 enpr2d.3 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
98neqned 2409 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
10 disjsn2 3732 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
119, 10syl 14 . . . 4 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
125onirri 4641 . . . . . 6 ¬ 1o ∈ 1o
1312a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14 disjsn 3731 . . . . 5 ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
1513, 14sylibr 134 . . . 4 (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16 unen 6991 . . . 4 ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
173, 7, 11, 15, 16syl22anc 1274 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18 df-pr 3676 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19 df-suc 4468 . . 3 suc 1o = (1o ∪ {1o})
2017, 18, 193brtr4g 4122 . 2 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21 df-2o 6583 . 2 2o = suc 1o
2220, 21breqtrrdi 4130 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1397  wcel 2202  wne 2402  cun 3198  cin 3199  c0 3494  {csn 3669  {cpr 3670   class class class wbr 4088  Oncon0 4460  suc csuc 4462  1oc1o 6575  2oc2o 6576  cen 6907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910
This theorem is referenced by:  isnzr2  14201
  Copyright terms: Public domain W3C validator