Theorem enpr2d 6795

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2d.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		ensn1g 6775	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4		enpr2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
5		1on 6402	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
6		en2sn 6791	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
7	4, 5, 6	sylancl 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8		enpr2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	neqned 2347	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10		disjsn2 3646	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
12	5	onirri 4527	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14		disjsn 3645	. . . . 5 ⊢ ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
15	13, 14	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16		unen 6794	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 1234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18		df-pr 3590	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19		df-suc 4356	. . 3 ⊢ suc 1o = (1o ∪ {1o})
20	17, 18, 19	3brtr4g 4023	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21		df-2o 6396	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 4031	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120  ∅c0 3414  {csn 3583  {cpr 3584   class class class wbr 3989  Oncon0 4348  suc csuc 4350  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389   ≈ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719

This theorem is referenced by: (None)