Theorem enpr2d 7105

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2d.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		ensn1g 7078	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4		enpr2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
5		1on 6688	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
6		en2sn 7096	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
7	4, 5, 6	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8		enpr2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	neqned 2427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10		disjsn2 3771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
12	5	onirri 4688	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14		disjsn 3770	. . . . 5 ⊢ ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
15	13, 14	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16		unen 7099	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 1279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18		df-pr 3715	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19		df-suc 4514	. . 3 ⊢ suc 1o = (1o ∪ {1o})
20	17, 18, 19	3brtr4g 4162	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21		df-2o 6682	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 4170	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  {csn 3708  {cpr 3709   class class class wbr 4128  Oncon0 4506  suc csuc 4508  1_oc1o 6674  2_oc2o 6675   ≈ cen 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017

This theorem is referenced by:  isnzr2  14474