ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enpr2d GIF version

Theorem enpr2d 6795
Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
enpr2d.1 (𝜑𝐴𝐶)
enpr2d.2 (𝜑𝐵𝐷)
enpr2d.3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
enpr2d (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d
StepHypRef Expression
1 enpr2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2 ensn1g 6775 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4 enpr2d.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
5 1on 6402 . . . . 5 1o ∈ On
6 en2sn 6791 . . . . 5 ((𝐵𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
74, 5, 6sylancl 411 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8 enpr2d.3 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
98neqned 2347 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
10 disjsn2 3646 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
119, 10syl 14 . . . 4 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
125onirri 4527 . . . . . 6 ¬ 1o ∈ 1o
1312a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14 disjsn 3645 . . . . 5 ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
1513, 14sylibr 133 . . . 4 (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16 unen 6794 . . . 4 ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
173, 7, 11, 15, 16syl22anc 1234 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18 df-pr 3590 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19 df-suc 4356 . . 3 suc 1o = (1o ∪ {1o})
2017, 18, 193brtr4g 4023 . 2 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21 df-2o 6396 . 2 2o = suc 1o
2220, 21breqtrrdi 4031 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  cun 3119  cin 3120  c0 3414  {csn 3583  {cpr 3584   class class class wbr 3989  Oncon0 4348  suc csuc 4350  1oc1o 6388  2oc2o 6389  cen 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator