ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enpr2d GIF version

Theorem enpr2d 6762
Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
enpr2d.1 (𝜑𝐴𝐶)
enpr2d.2 (𝜑𝐵𝐷)
enpr2d.3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
enpr2d (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d
StepHypRef Expression
1 enpr2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2 ensn1g 6742 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4 enpr2d.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
5 1on 6370 . . . . 5 1o ∈ On
6 en2sn 6758 . . . . 5 ((𝐵𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
74, 5, 6sylancl 410 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8 enpr2d.3 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
98neqned 2334 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
10 disjsn2 3622 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
119, 10syl 14 . . . 4 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
125onirri 4502 . . . . . 6 ¬ 1o ∈ 1o
1312a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14 disjsn 3621 . . . . 5 ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
1513, 14sylibr 133 . . . 4 (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16 unen 6761 . . . 4 ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
173, 7, 11, 15, 16syl22anc 1221 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18 df-pr 3567 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19 df-suc 4331 . . 3 suc 1o = (1o ∪ {1o})
2017, 18, 193brtr4g 3998 . 2 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21 df-2o 6364 . 2 2o = suc 1o
2220, 21breqtrrdi 4006 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1335  wcel 2128  wne 2327  cun 3100  cin 3101  c0 3394  {csn 3560  {cpr 3561   class class class wbr 3965  Oncon0 4323  suc csuc 4325  1oc1o 6356  2oc2o 6357  cen 6683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-1o 6363  df-2o 6364  df-er 6480  df-en 6686
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator