ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setscom GIF version

Theorem setscom 12501
Description: Different components can be set in any order. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setscom.1 𝐴 ∈ V
setscom.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
setscom (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setscom
StepHypRef Expression
1 rescom 4932 . . . . . 6 ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴}))
21uneq1i 3285 . . . . 5 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
32uneq1i 3285 . . . 4 ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
4 un23 3294 . . . 4 ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
53, 4eqtri 2198 . . 3 ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
6 setscom.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
7 setsvala 12492 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
86, 7mp3an2 1325 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝐶𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
98ad2ant2r 509 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
109reseq1d 4906 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})))
11 resundir 4921 . . . . . 6 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})))
12 elex 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑊𝐶 ∈ V)
1312ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐶 ∈ V)
14 opelxpi 4658 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
156, 13, 14sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
16 opexg 4228 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ V)
176, 13, 16sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ V)
18 relsng 4729 . . . . . . . . . 10 (⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ V → (Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
2015, 19mpbird 167 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩})
21 dmsnopg 5100 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ V → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
2213, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
23 disjsn2 3655 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2423ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
25 disj2 3478 . . . . . . . . . 10 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
2624, 25sylib 122 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
2722, 26eqsstrd 3191 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
28 relssres 4945 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵})) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
2920, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
3029uneq2d 3289 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
3111, 30eqtrid 2222 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
3210, 31eqtrd 2210 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
3332uneq1d 3288 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
34 setscom.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
35 setsvala 12492 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝐵 ∈ V ∧ 𝐷𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3634, 35mp3an2 1325 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝐷𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3736reseq1d 4906 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐷𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
3837ad2ant2rl 511 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
39 resundir 4921 . . . . . 6 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
40 elex 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑋𝐷 ∈ V)
4140ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐷 ∈ V)
42 opelxpi 4658 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
4334, 41, 42sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
44 opexg 4228 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ V)
4534, 41, 44sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ V)
46 relsng 4729 . . . . . . . . . 10 (⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ V → (Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V)))
4745, 46syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V)))
4843, 47mpbird 167 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩})
49 dmsnopg 5100 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ V → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
5041, 49syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
51 ssv 3177 . . . . . . . . . . 11 {𝐴} ⊆ V
52 ssv 3177 . . . . . . . . . . 11 {𝐵} ⊆ V
53 ssconb 3268 . . . . . . . . . . 11 (({𝐴} ⊆ V ∧ {𝐵} ⊆ V) → ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴})))
5451, 52, 53mp2an 426 . . . . . . . . . 10 ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
5526, 54sylib 122 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
5650, 55eqsstrd 3191 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
57 relssres 4945 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴})) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
5848, 56, 57syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
5958uneq2d 3289 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
6039, 59eqtrid 2222 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
6138, 60eqtrd 2210 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
6261uneq1d 3288 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
635, 33, 623eqtr4a 2236 . 2 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
64 setsex 12493 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V)
656, 64mp3an2 1325 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐶𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V)
6665ad2ant2r 509 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V)
6734a1i 9 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
68 simprr 531 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐷𝑋)
69 setsvala 12492 . . 3 (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐷𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
7066, 67, 68, 69syl3anc 1238 . 2 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
71 setsex 12493 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝐵 ∈ V ∧ 𝐷𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V)
7234, 71mp3an2 1325 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐷𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V)
7372ad2ant2rl 511 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V)
746a1i 9 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐴 ∈ V)
75 simprl 529 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐶𝑊)
76 setsvala 12492 . . 3 (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
7773, 74, 75, 76syl3anc 1238 . 2 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
7863, 70, 773eqtr4d 2220 1 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  Vcvv 2737  cdif 3126  cun 3127  cin 3128  wss 3129  c0 3422  {csn 3592  cop 3595   × cxp 4624  dom cdm 4626  cres 4628  Rel wrel 4631  (class class class)co 5874   sSet csts 12459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sets 12468
This theorem is referenced by:  setscomd  12502
  Copyright terms: Public domain W3C validator