Theorem setscom 13244

Description: Different components can be set in any order. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setscom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
setscom.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
setscom	⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 5062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴}))
2	1	uneq1i 3368	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
3	2	uneq1i 3368	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
4		un23 3377	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5	3, 4	eqtri 2253	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
6		setscom.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
7		setsvala 13235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
8	6, 7	mp3an2 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
9	8	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
10	9	reseq1d 5036	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})))
11		resundir 5051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})))
12		elex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → 𝐶 ∈ V)
13	12	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ V)
14		opelxpi 4780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
15	6, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
16		opexg 4343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ V)
17	6, 13, 16	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ V)
18		relsng 4852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ V → (Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
20	15, 19	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩})
21		dmsnopg 5233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ V → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
23		disjsn2 3751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
25		disj2 3563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
26	24, 25	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
27	22, 26	eqsstrd 3273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
28		relssres 5075	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵})) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
29	20, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
30	29	uneq2d 3372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
31	11, 30	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
32	10, 31	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
33	32	uneq1d 3371	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
34		setscom.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
35		setsvala 13235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
36	34, 35	mp3an2 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
37	36	reseq1d 5036	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
38	37	ad2ant2rl 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
39		resundir 5051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
40		elex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑋 → 𝐷 ∈ V)
41	40	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ V)
42		opelxpi 4780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
43	34, 41, 42	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
44		opexg 4343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ V)
45	34, 41, 44	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ V)
46		relsng 4852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ V → (Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V)))
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V)))
48	43, 47	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩})
49		dmsnopg 5233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
51		ssv 3259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴} ⊆ V
52		ssv 3259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐵} ⊆ V
53		ssconb 3351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴} ⊆ V ∧ {𝐵} ⊆ V) → ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴})))
54	51, 52, 53	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
55	26, 54	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
56	50, 55	eqsstrd 3273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
57		relssres 5075	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴})) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
58	48, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
59	58	uneq2d 3372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
60	39, 59	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
61	38, 60	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
62	61	uneq1d 3371	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
63	5, 33, 62	3eqtr4a 2291	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
64		setsex 13236	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V)
65	6, 64	mp3an2 1362	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V)
66	65	ad2ant2r 509	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V)
67	34	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
68		simprr 533	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ 𝑋)
69		setsvala 13235	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
71		setsex 13236	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V)
72	34, 71	mp3an2 1362	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V)
73	72	ad2ant2rl 511	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V)
74	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ V)
75		simprl 531	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑊)
76		setsvala 13235	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
78	63, 70, 77	3eqtr4d 2275	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  Vcvv 2812   ∖ cdif 3207   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507  {csn 3688  ⟨cop 3691   × cxp 4746  dom cdm 4748   ↾ cres 4750  Rel wrel 4753  (class class class)co 6049   sSet csts 13202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sets 13211

This theorem is referenced by:  setscomd  13245