Theorem dmexg 4931

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4475	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexg 4475	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ ∪ 𝐴 ∈ V)
3		ssun1 3327	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4		dmrnssfld 4930	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
5	3, 4	sstri 3193	. . 3 ⊢ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6		ssexg 4173	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴 ∧ ∪ ∪ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ V → dom 𝐴 ∈ V)
8	1, 2, 7	3syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  ∪ cuni 3840  dom cdm 4664  ran crn 4665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675

This theorem is referenced by:  dmex  4933  iprc  4935  exse2  5044  xpexr2m  5112  elxp4  5158  cnvexg  5208  coexg  5215  dmfex  5450  cofunexg  6175  offval3  6200  1stvalg  6209  tposexg  6325  erexb  6626  f1vrnfibi  7020  shftfvalg  11000  ennnfonelemp1  12648  ptex  12966  prdsex  12971  prdsval  12975  prdsbaslemss  12976  prdsbas  12978  xmetunirn  14678