Theorem dmexg 4987

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexg 4529	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ ∪ 𝐴 ∈ V)
3		ssun1 3367	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4		dmrnssfld 4986	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
5	3, 4	sstri 3233	. . 3 ⊢ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6		ssexg 4222	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴 ∧ ∪ ∪ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ V → dom 𝐴 ∈ V)
8	1, 2, 7	3syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  ∪ cuni 3887  dom cdm 4718  ran crn 4719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729

This theorem is referenced by:  dmexd  4989  dmex  4990  iprc  4992  exse2  5101  xpexr2m  5169  elxp4  5215  cnvexg  5265  coexg  5272  dmfex  5514  cofunexg  6252  offval3  6277  1stvalg  6286  tposexg  6402  erexb  6703  f1vrnfibi  7108  fun2dmnop0  11064  shftfvalg  11324  ennnfonelemp1  12972  ptex  13292  prdsex  13297  prdsval  13301  prdsbaslemss  13302  prdsbas  13304  xmetunirn  15026