Theorem elmpocl 6164

Description: If a two-parameter class is inhabited, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmpocl.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
elmpocl	⊢ (𝑋 ∈ (𝑆𝐹𝑇) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elmpocl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmpocl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		df-mpo 5972	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
3	1, 2	eqtri 2228	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
4	3	dmeqi 4898	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
5		dmoprabss 6050	. . . 4 ⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
6	4, 5	eqsstri 3233	. . 3 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵)
7	1	mpofun 6070	. . . . . 6 ⊢ Fun 𝐹
8		funrel 5307	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel 𝐹
10		relelfvdm 5631	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐹‘⟨𝑆, 𝑇⟩)) → ⟨𝑆, 𝑇⟩ ∈ dom 𝐹)
11	9, 10	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹‘⟨𝑆, 𝑇⟩) → ⟨𝑆, 𝑇⟩ ∈ dom 𝐹)
12		df-ov 5970	. . . 4 ⊢ (𝑆𝐹𝑇) = (𝐹‘⟨𝑆, 𝑇⟩)
13	11, 12	eleq2s 2302	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆𝐹𝑇) → ⟨𝑆, 𝑇⟩ ∈ dom 𝐹)
14	6, 13	sselid 3199	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆𝐹𝑇) → ⟨𝑆, 𝑇⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵))
15		opelxp 4723	. 2 ⊢ (⟨𝑆, 𝑇⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵))
16	14, 15	sylib 122	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆𝐹𝑇) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ⟨cop 3646   × cxp 4691  dom cdm 4693  Rel wrel 4698  Fun wfun 5284  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  {coprab 5968   ∈ cmpo 5969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972

This theorem is referenced by:  elmpocl1  6165  elmpocl2  6166  elovmpo  6168  elovmporab  6169  elovmporab1w  6170  elpmi  6777  elmapex  6779  pmsspw  6793  ixxssxr  10057  elixx3g  10058  ixxssixx  10059  eliooxr  10084  elfz2  10172  restsspw  13196  ismhm  13408  isghm  13694  isrhm  14035  rimrcl  14037  restrcl  14754  ssrest  14769  iscn2  14787  ishmeo  14891  limcrcl  15245