ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunfidisj GIF version

Theorem iunfidisj 6655
Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that 𝐵 depends on 𝑥, i.e. can be thought of as 𝐵(𝑥). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3743 . . 3 (𝑤 = ∅ → 𝑥𝑤 𝐵 = 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
21eleq1d 2156 . 2 (𝑤 = ∅ → ( 𝑥𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin))
3 iuneq1 3743 . . 3 (𝑤 = 𝑦 𝑥𝑤 𝐵 = 𝑥𝑦 𝐵)
43eleq1d 2156 . 2 (𝑤 = 𝑦 → ( 𝑥𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin))
5 iuneq1 3743 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑥𝑤 𝐵 = 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
65eleq1d 2156 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ( 𝑥𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin))
7 iuneq1 3743 . . 3 (𝑤 = 𝐴 𝑥𝑤 𝐵 = 𝑥𝐴 𝐵)
87eleq1d 2156 . 2 (𝑤 = 𝐴 → ( 𝑥𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin))
9 0iun 3787 . . . 4 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
10 0fin 6600 . . . 4 ∅ ∈ Fin
119, 10eqeltri 2160 . . 3 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin
1211a1i 9 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin)
13 iunxun 3809 . . . 4 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵)
14 simpr 108 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin)
15 nfcsb1v 2963 . . . . . . . 8 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
16 csbeq1a 2941 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
1715, 16iunxsngf 3807 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ V → 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
1817elv 2623 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵
19 simplrr 503 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2019eldifad 3010 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑧𝐴)
21 simpll2 983 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
2215nfel1 2239 . . . . . . . 8 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ Fin
2316eleq1d 2156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ Fin))
2422, 23rspc 2716 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ Fin))
2520, 21, 24sylc 61 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ Fin)
2618, 25syl5eqel 2174 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ Fin)
27 simpll3 984 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
28 simplrl 502 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑦𝐴)
2920snssd 3582 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3019eldifbd 3011 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝑦)
31 disjsn 3504 . . . . . . 7 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
3230, 31sylibr 132 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
33 disjiun 3840 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝑦𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)) → ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅)
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1176 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅)
35 unfidisj 6632 . . . . 5 (( 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ Fin ∧ ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅) → ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ Fin)
3614, 26, 34, 35syl3anc 1174 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ Fin)
3713, 36syl5eqel 2174 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin)
3837ex 113 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ( 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin))
39 simp1 943 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6607 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  Vcvv 2619  csb 2933  cdif 2996  cun 2997  cin 2998  wss 2999  c0 3286  {csn 3446   ciun 3730  Disj wdisj 3822  Fincfn 6457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-disj 3823  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6292  df-en 6458  df-fin 6460
This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  10828  fisumcom2  10832  fsumiun  10871  hashiun  10872  hash2iun  10873
  Copyright terms: Public domain W3C validator