Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunfidisj GIF version

Theorem iunfidisj 6834
 Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that 𝐵 depends on 𝑥, i.e. can be thought of as 𝐵(𝑥). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
iunfidisj ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunfidisj
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3826 . . 3 (𝑤 = ∅ → 𝑥𝑤 𝐵 = 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
21eleq1d 2208 . 2 (𝑤 = ∅ → ( 𝑥𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin))
3 iuneq1 3826 . . 3 (𝑤 = 𝑦 𝑥𝑤 𝐵 = 𝑥𝑦 𝐵)
43eleq1d 2208 . 2 (𝑤 = 𝑦 → ( 𝑥𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin))
5 iuneq1 3826 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑥𝑤 𝐵 = 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
65eleq1d 2208 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ( 𝑥𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin))
7 iuneq1 3826 . . 3 (𝑤 = 𝐴 𝑥𝑤 𝐵 = 𝑥𝐴 𝐵)
87eleq1d 2208 . 2 (𝑤 = 𝐴 → ( 𝑥𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin))
9 0iun 3870 . . . 4 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
10 0fin 6778 . . . 4 ∅ ∈ Fin
119, 10eqeltri 2212 . . 3 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin
1211a1i 9 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin)
13 iunxun 3892 . . . 4 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵)
14 simpr 109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin)
15 nfcsb1v 3035 . . . . . . . 8 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
16 csbeq1a 3012 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
1715, 16iunxsngf 3890 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ V → 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
1817elv 2690 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵
19 simplrr 525 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2019eldifad 3082 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑧𝐴)
21 simpll2 1021 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
2215nfel1 2292 . . . . . . . 8 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ Fin
2316eleq1d 2208 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ Fin))
2422, 23rspc 2783 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ Fin))
2520, 21, 24sylc 62 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ Fin)
2618, 25eqeltrid 2226 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ Fin)
27 simpll3 1022 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
28 simplrl 524 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑦𝐴)
2920snssd 3665 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3019eldifbd 3083 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝑦)
31 disjsn 3585 . . . . . . 7 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
3230, 31sylibr 133 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
33 disjiun 3924 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝑦𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)) → ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅)
3427, 28, 29, 32, 33syl13anc 1218 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅)
35 unfidisj 6810 . . . . 5 (( 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ Fin ∧ ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅) → ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ Fin)
3614, 26, 34, 35syl3anc 1216 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ( 𝑥𝑦 𝐵 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ Fin)
3713, 36eqeltrid 2226 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin)
3837ex 114 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ( 𝑥𝑦 𝐵 ∈ Fin → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin))
39 simp1 981 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
402, 4, 6, 8, 12, 38, 39findcard2d 6785 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686  ⦋csb 3003   ∖ cdif 3068   ∪ cun 3069   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527  ∪ ciun 3813  Disj wdisj 3906  Fincfn 6634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637 This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11203  fisumcom2  11207  fsumiun  11246  hashiun  11247  hash2iun  11248
 Copyright terms: Public domain W3C validator