Theorem iunfidisj 7012

Description: The finite union of disjoint finite sets is finite. Note that 𝐵 depends on 𝑥, i.e. can be thought of as 𝐵(𝑥). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
iunfidisj	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunfidisj

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 3929	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin))
3		iuneq1 3929	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
4	3	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin))
5		iuneq1 3929	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
6	5	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ ∪ 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin))
7		iuneq1 3929	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ Fin ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin))
9		0iun 3974	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
10		0fin 6945	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2269	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ∈ Fin)
13		iunxun 3996	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵)
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin)
15		nfcsb1v 3117	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
16		csbeq1a 3093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
17	15, 16	iunxsngf 3994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
18	17	elv 2767	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
19		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
20	19	eldifad 3168	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑧 ∈ 𝐴)
21		simpll2 1039	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
22	15	nfel1 2350	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ Fin
23	16	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ Fin ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ Fin))
24	22, 23	rspc 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ Fin))
25	20, 21, 24	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ Fin)
26	18, 25	eqeltrid 2283	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ Fin)
27		simpll3 1040	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
28		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
29	20	snssd 3767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
30	19	eldifbd 3169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
31		disjsn 3684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
33		disjiun 4028	. . . . . 6 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅)
34	27, 28, 29, 32, 33	syl13anc 1251	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅)
35		unfidisj 6983	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin ∧ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ Fin ∧ (∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) = ∅) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ Fin)
36	14, 26, 34, 35	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ Fin)
37	13, 36	eqeltrid 2283	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin)
38	37	ex 115	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ Fin → ∪ 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ Fin))
39		simp1 999	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
40	2, 4, 6, 8, 12, 38, 39	findcard2d 6952	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763  ⦋csb 3084   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  {csn 3622  ∪ ciun 3916  Disj wdisj 4010  Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11599  fisumcom2  11603  fsumiun  11642  hashiun  11643  hash2iun  11644  fprod2dlemstep  11787  fprodcom2fi  11791