ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodap0f GIF version

Theorem fprodap0f 11544
Description: A finite product of terms apart from zero is apart from zero. A version of fprodap0 11529 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph 𝑘𝜑
fprodn0f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodap0f.bap0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 # 0)
Assertion
Ref Expression
fprodap0f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 # 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodap0f
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11461 . . 3 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21breq1d 3977 . 2 (𝑤 = ∅ → (∏𝑘𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0))
3 prodeq1 11461 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
43breq1d 3977 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0))
5 prodeq1 11461 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
65breq1d 3977 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0))
7 prodeq1 11461 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
87breq1d 3977 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘𝐴 𝐵 # 0))
9 prod0 11493 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
10 1ap0 8469 . . . 4 1 # 0
119, 10eqbrtri 3987 . . 3 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0
1211a1i 9 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0)
13 fprodn0f.kph . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
14 nfv 1508 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑦 ∈ Fin
1513, 14nfan 1545 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑦 ∈ Fin)
16 nfv 1508 . . . . . . . 8 𝑘(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
1715, 16nfan 1545 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)))
18 simplr 520 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
19 simplll 523 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
20 simplrl 525 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
21 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
2220, 21sseldd 3129 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
23 fprodn0f.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2419, 22, 23syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
2517, 18, 24fprodclf 11543 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
2625adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
27 simprr 522 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2827eldifad 3113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
2923ex 114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℂ))
3013, 29ralrimi 2528 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
3130ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
32 rspcsbela 3090 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
3328, 31, 32syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
3433adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
35 simpr 109 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0)
36 fprodap0f.bap0 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 # 0)
3736ex 114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 # 0))
3813, 37ralrimi 2528 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 # 0)
3938ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 # 0)
40 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . 9 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
41 nfcv 2299 . . . . . . . . 9 𝑘 #
42 nfcv 2299 . . . . . . . . 9 𝑘0
4340, 41, 42nfbr 4012 . . . . . . . 8 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 # 0
44 csbeq1a 3040 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4544breq1d 3977 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 # 0 ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 # 0))
4643, 45rspc 2810 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 # 0 → 𝑧 / 𝑘𝐵 # 0))
4728, 39, 46sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 # 0)
4847adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → 𝑧 / 𝑘𝐵 # 0)
4926, 34, 35, 48mulap0d 8536 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) # 0)
5027eldifbd 3114 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
5117, 40, 18, 27, 50, 24, 44, 33fprodsplitsn 11541 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
5251breq1d 3977 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) # 0))
5352adantr 274 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) # 0))
5449, 53mpbird 166 . . 3 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0)
5554ex 114 . 2 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵 # 0 → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0))
56 fprodn0f.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
572, 4, 6, 8, 12, 55, 56findcard2sd 6839 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wnf 1440  wcel 2128  wral 2435  csb 3031  cdif 3099  cun 3100  wss 3102  c0 3395  {csn 3561   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  Fincfn 6687  cc 7732  0cc0 7734  1c1 7735   · cmul 7739   # cap 8460  cprod 11458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853  ax-caucvg 7854
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-isom 5181  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-frec 6340  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6482  df-en 6688  df-dom 6689  df-fin 6690  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-fz 9919  df-fzo 10051  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-ihash 10661  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-clim 11187  df-proddc 11459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator