ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodap0f GIF version

Theorem fprodap0f 11599
Description: A finite product of terms apart from zero is apart from zero. A version of fprodap0 11584 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph 𝑘𝜑
fprodn0f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodap0f.bap0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 # 0)
Assertion
Ref Expression
fprodap0f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 # 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodap0f
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21breq1d 3999 . 2 (𝑤 = ∅ → (∏𝑘𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0))
3 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
43breq1d 3999 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0))
5 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
65breq1d 3999 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0))
7 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
87breq1d 3999 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘𝐴 𝐵 # 0))
9 prod0 11548 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
10 1ap0 8509 . . . 4 1 # 0
119, 10eqbrtri 4010 . . 3 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0
1211a1i 9 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0)
13 fprodn0f.kph . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
14 nfv 1521 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑦 ∈ Fin
1513, 14nfan 1558 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑦 ∈ Fin)
16 nfv 1521 . . . . . . . 8 𝑘(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
1715, 16nfan 1558 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)))
18 simplr 525 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
19 simplll 528 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
20 simplrl 530 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
21 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
2220, 21sseldd 3148 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
23 fprodn0f.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2419, 22, 23syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
2517, 18, 24fprodclf 11598 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
2625adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
27 simprr 527 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2827eldifad 3132 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
2923ex 114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℂ))
3013, 29ralrimi 2541 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
3130ad2antrr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
32 rspcsbela 3108 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
3328, 31, 32syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
3433adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
35 simpr 109 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0)
36 fprodap0f.bap0 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 # 0)
3736ex 114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 # 0))
3813, 37ralrimi 2541 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 # 0)
3938ad2antrr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 # 0)
40 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . 9 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
41 nfcv 2312 . . . . . . . . 9 𝑘 #
42 nfcv 2312 . . . . . . . . 9 𝑘0
4340, 41, 42nfbr 4035 . . . . . . . 8 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 # 0
44 csbeq1a 3058 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4544breq1d 3999 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 # 0 ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 # 0))
4643, 45rspc 2828 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 # 0 → 𝑧 / 𝑘𝐵 # 0))
4728, 39, 46sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 # 0)
4847adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → 𝑧 / 𝑘𝐵 # 0)
4926, 34, 35, 48mulap0d 8576 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) # 0)
5027eldifbd 3133 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
5117, 40, 18, 27, 50, 24, 44, 33fprodsplitsn 11596 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
5251breq1d 3999 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) # 0))
5352adantr 274 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) # 0))
5449, 53mpbird 166 . . 3 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0)
5554ex 114 . 2 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵 # 0 → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0))
56 fprodn0f.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
572, 4, 6, 8, 12, 55, 56findcard2sd 6870 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wnf 1453  wcel 2141  wral 2448  csb 3049  cdif 3118  cun 3119  wss 3121  c0 3414  {csn 3583   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   # cap 8500  cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator