Theorem fprodap0f 12403

Description: A finite product of terms apart from zero is apart from zero. A version of fprodap0 12388 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0f.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodn0f.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0f.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodap0f.bap0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 # 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodap0f	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 # 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodap0f

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12320	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	breq1d 4140	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0))
3		prodeq1 12320	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
4	3	breq1d 4140	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0))
5		prodeq1 12320	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
6	5	breq1d 4140	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0))
7		prodeq1 12320	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	breq1d 4140	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 # 0 ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 # 0))
9		prod0 12352	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
10		1ap0 8918	. . . 4 ⊢ 1 # 0
11	9, 10	eqbrtri 4151	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 # 0)
13		fprodn0f.kph	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
14		nfv 1581	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ∈ Fin
15	13, 14	nfan 1618	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin)
16		nfv 1581	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
17	15, 16	nfan 1618	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)))
18		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
19		simplll 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
20		simplrl 541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
21		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
22	20, 21	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23		fprodn0f.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	19, 22, 23	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	17, 18, 24	fprodclf 12402	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
27		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
28	27	eldifad 3231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
29	23	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ ℂ))
30	13, 29	ralrimi 2621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
32		rspcsbela 3207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
33	28, 31, 32	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
34	33	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
35		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0)
36		fprodap0f.bap0	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 # 0)
37	36	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 # 0))
38	13, 37	ralrimi 2621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 # 0)
39	38	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 # 0)
40		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
41		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 #
42		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘0
43	40, 41, 42	nfbr 4177	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 # 0
44		csbeq1a 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
45	44	breq1d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 # 0 ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 # 0))
46	43, 45	rspc 2923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 # 0 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 # 0))
47	28, 39, 46	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 # 0)
48	47	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 # 0)
49	26, 34, 35, 48	mulap0d 8986	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) # 0)
50	27	eldifbd 3232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
51	17, 40, 18, 27, 50, 24, 44, 33	fprodsplitsn 12400	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
52	51	breq1d 4140	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0 ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) # 0))
53	52	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0 ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) # 0))
54	49, 53	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0)
55	54	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 # 0 → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 # 0))
56		fprodn0f.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
57	2, 4, 6, 8, 12, 55, 56	findcard2sd 7196	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 # 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ⦋csb 3147   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   # cap 8909  ∏cprod 12317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-proddc 12318

This theorem is used by: (None)