ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnfi GIF version

Theorem fnfi 6777
Description: A version of fnex 5596 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfi ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem fnfi
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5190 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
21adantr 272 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
3 reseq2 4772 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (𝐹𝑤) = (𝐹 ↾ ∅))
43eleq1d 2183 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin))
5 reseq2 4772 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
65eleq1d 2183 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝑦) ∈ Fin))
7 reseq2 4772 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐹𝑤) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})))
87eleq1d 2183 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
9 reseq2 4772 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
109eleq1d 2183 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝐴) ∈ Fin))
11 res0 4781 . . . . 5 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
12 0fin 6731 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
1311, 12eqeltri 2187 . . . 4 (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin
1413a1i 9 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin)
15 resundi 4790 . . . . 5 (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧}))
16 simp-4l 513 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝐹 Fn 𝐴)
17 simplrr 508 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
1817eldifad 3048 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧𝐴)
19 fnressn 5560 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧𝐴) → (𝐹 ↾ {𝑧}) = {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩})
2016, 18, 19syl2anc 406 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹 ↾ {𝑧}) = {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩})
2120uneq2d 3196 . . . . . 6 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧})) = ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}))
22 simpr 109 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹𝑦) ∈ Fin)
2317elexd 2670 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ V)
24 funfvex 5392 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ V)
2524funfni 5181 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ V)
2616, 18, 25syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹𝑧) ∈ V)
27 opexg 4110 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ V ∧ (𝐹𝑧) ∈ V) → ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V)
2823, 26, 27syl2anc 406 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V)
2917eldifbd 3049 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝑦)
30 opeldmg 4704 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ V) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)))
3118, 26, 30syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)))
32 dmres 4798 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹𝑦) = (𝑦 ∩ dom 𝐹)
3332eleq2i 2181 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹))
3431, 33syl6ib 160 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹)))
35 elin 3225 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑧𝑦𝑧 ∈ dom 𝐹))
3635simplbi 270 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹) → 𝑧𝑦)
3734, 36syl6 33 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧𝑦))
3829, 37mtod 635 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ¬ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦))
39 unsnfi 6760 . . . . . . 7 (((𝐹𝑦) ∈ Fin ∧ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦)) → ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}) ∈ Fin)
4022, 28, 38, 39syl3anc 1199 . . . . . 6 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}) ∈ Fin)
4121, 40eqeltrd 2191 . . . . 5 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧})) ∈ Fin)
4215, 41syl5eqel 2201 . . . 4 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
4342ex 114 . . 3 ((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((𝐹𝑦) ∈ Fin → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
44 simpr 109 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
454, 6, 8, 10, 14, 43, 44findcard2sd 6739 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ∈ Fin)
462, 45eqeltrrd 2192 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2657  cdif 3034  cun 3035  cin 3036  wss 3037  c0 3329  {csn 3493  cop 3496  dom cdm 4499  cres 4501   Fn wfn 5076  cfv 5081  Fincfn 6588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-1o 6267  df-er 6383  df-en 6589  df-fin 6591
This theorem is referenced by:  fundmfibi  6779  resfnfinfinss  6780  fihashf1rn  10428  fihashfn  10439
  Copyright terms: Public domain W3C validator