ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnfi GIF version

Theorem fnfi 6832
Description: A version of fnex 5649 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfi ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem fnfi
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5239 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
21adantr 274 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
3 reseq2 4821 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (𝐹𝑤) = (𝐹 ↾ ∅))
43eleq1d 2209 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin))
5 reseq2 4821 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
65eleq1d 2209 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝑦) ∈ Fin))
7 reseq2 4821 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐹𝑤) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})))
87eleq1d 2209 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
9 reseq2 4821 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
109eleq1d 2209 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝐴) ∈ Fin))
11 res0 4830 . . . . 5 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
12 0fin 6785 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
1311, 12eqeltri 2213 . . . 4 (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin
1413a1i 9 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin)
15 resundi 4839 . . . . 5 (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧}))
16 simp-4l 531 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝐹 Fn 𝐴)
17 simplrr 526 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
1817eldifad 3086 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧𝐴)
19 fnressn 5613 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧𝐴) → (𝐹 ↾ {𝑧}) = {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩})
2016, 18, 19syl2anc 409 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹 ↾ {𝑧}) = {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩})
2120uneq2d 3234 . . . . . 6 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧})) = ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}))
22 simpr 109 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹𝑦) ∈ Fin)
2317elexd 2702 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ V)
24 funfvex 5445 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ V)
2524funfni 5230 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ V)
2616, 18, 25syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹𝑧) ∈ V)
27 opexg 4157 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ V ∧ (𝐹𝑧) ∈ V) → ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V)
2823, 26, 27syl2anc 409 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V)
2917eldifbd 3087 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝑦)
30 opeldmg 4751 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ V) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)))
3118, 26, 30syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)))
32 dmres 4847 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹𝑦) = (𝑦 ∩ dom 𝐹)
3332eleq2i 2207 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹))
3431, 33syl6ib 160 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹)))
35 elin 3263 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑧𝑦𝑧 ∈ dom 𝐹))
3635simplbi 272 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹) → 𝑧𝑦)
3734, 36syl6 33 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧𝑦))
3829, 37mtod 653 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ¬ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦))
39 unsnfi 6814 . . . . . . 7 (((𝐹𝑦) ∈ Fin ∧ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦)) → ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}) ∈ Fin)
4022, 28, 38, 39syl3anc 1217 . . . . . 6 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}) ∈ Fin)
4121, 40eqeltrd 2217 . . . . 5 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧})) ∈ Fin)
4215, 41eqeltrid 2227 . . . 4 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
4342ex 114 . . 3 ((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((𝐹𝑦) ∈ Fin → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
44 simpr 109 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
454, 6, 8, 10, 14, 43, 44findcard2sd 6793 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ∈ Fin)
462, 45eqeltrrd 2218 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  Vcvv 2689  cdif 3072  cun 3073  cin 3074  wss 3075  c0 3367  {csn 3531  cop 3534  dom cdm 4546  cres 4548   Fn wfn 5125  cfv 5130  Fincfn 6641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-fin 6644
This theorem is referenced by:  fundmfibi  6834  resfnfinfinss  6835  fihashf1rn  10566  fihashfn  10577
  Copyright terms: Public domain W3C validator