ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnfi GIF version

Theorem fnfi 6967
Description: A version of fnex 5759 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfi ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem fnfi
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5344 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
21adantr 276 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
3 reseq2 4920 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (𝐹𝑤) = (𝐹 ↾ ∅))
43eleq1d 2258 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin))
5 reseq2 4920 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
65eleq1d 2258 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝑦) ∈ Fin))
7 reseq2 4920 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐹𝑤) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})))
87eleq1d 2258 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
9 reseq2 4920 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
109eleq1d 2258 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐹𝐴) ∈ Fin))
11 res0 4929 . . . . 5 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
12 0fin 6913 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
1311, 12eqeltri 2262 . . . 4 (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin
1413a1i 9 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ ∅) ∈ Fin)
15 resundi 4938 . . . . 5 (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧}))
16 simp-4l 541 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝐹 Fn 𝐴)
17 simplrr 536 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
1817eldifad 3155 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧𝐴)
19 fnressn 5723 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧𝐴) → (𝐹 ↾ {𝑧}) = {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩})
2016, 18, 19syl2anc 411 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹 ↾ {𝑧}) = {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩})
2120uneq2d 3304 . . . . . 6 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧})) = ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}))
22 simpr 110 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹𝑦) ∈ Fin)
2317elexd 2765 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ V)
24 funfvex 5551 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ V)
2524funfni 5335 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ V)
2616, 18, 25syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹𝑧) ∈ V)
27 opexg 4246 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ V ∧ (𝐹𝑧) ∈ V) → ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V)
2823, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V)
2917eldifbd 3156 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝑦)
30 opeldmg 4850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ V) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)))
3118, 26, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)))
32 dmres 4946 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹𝑦) = (𝑦 ∩ dom 𝐹)
3332eleq2i 2256 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹))
3431, 33imbitrdi 161 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹)))
35 elin 3333 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑧𝑦𝑧 ∈ dom 𝐹))
3635simplbi 274 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑦 ∩ dom 𝐹) → 𝑧𝑦)
3734, 36syl6 33 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦) → 𝑧𝑦))
3829, 37mtod 664 . . . . . . 7 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ¬ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦))
39 unsnfi 6948 . . . . . . 7 (((𝐹𝑦) ∈ Fin ∧ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩ ∈ (𝐹𝑦)) → ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}) ∈ Fin)
4022, 28, 38, 39syl3anc 1249 . . . . . 6 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ {⟨𝑧, (𝐹𝑧)⟩}) ∈ Fin)
4121, 40eqeltrd 2266 . . . . 5 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → ((𝐹𝑦) ∪ (𝐹 ↾ {𝑧})) ∈ Fin)
4215, 41eqeltrid 2276 . . . 4 (((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝐹𝑦) ∈ Fin) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
4342ex 115 . . 3 ((((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((𝐹𝑦) ∈ Fin → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
44 simpr 110 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
454, 6, 8, 10, 14, 43, 44findcard2sd 6921 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ∈ Fin)
462, 45eqeltrrd 2267 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752  cdif 3141  cun 3142  cin 3143  wss 3144  c0 3437  {csn 3607  cop 3610  dom cdm 4644  cres 4646   Fn wfn 5230  cfv 5235  Fincfn 6767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1o 6442  df-er 6560  df-en 6768  df-fin 6770
This theorem is referenced by:  fundmfibi  6969  resfnfinfinss  6970  fihashf1rn  10803  fihashfn  10815  xpsfrnel  12823
  Copyright terms: Public domain W3C validator