ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfz1isolemiso GIF version

Theorem zfz1isolemiso 10522
Description: Lemma for zfz1iso 10524. Adding one element to the order isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zfz1isolemiso.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
zfz1isolemiso.xz (𝜑𝑋 ⊆ ℤ)
zfz1isolemiso.mx (𝜑𝑀𝑋)
zfz1isolemiso.m (𝜑 → ∀𝑧𝑋 𝑧𝑀)
zfz1isolemiso.g (𝜑𝐺 Isom < , < ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))), (𝑋 ∖ {𝑀})))
zfz1isolemiso.a (𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘𝑋)))
zfz1isolemiso.b (𝜑𝐵 ∈ (1...(♯‘𝑋)))
Assertion
Ref Expression
zfz1isolemiso (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑋
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem zfz1isolemiso
StepHypRef Expression
1 zfz1isolemiso.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 Isom < , < ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))), (𝑋 ∖ {𝑀})))
21ad2antrr 477 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐺 Isom < , < ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))), (𝑋 ∖ {𝑀})))
3 simplr 502 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))))
4 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))))
5 isorel 5675 . . . . 5 ((𝐺 Isom < , < ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))), (𝑋 ∖ {𝑀})) ∧ (𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
62, 3, 4, 5syl12anc 1197 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
7 zfz1isolemiso.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘𝑋)))
87adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐴 ∈ (1...(♯‘𝑋)))
9 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (1...(♯‘𝑋)) → 𝐴 ∈ ℤ)
107, 9syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
1110zred 9124 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 zfz1isolemiso.xf . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
14 hashcl 10467 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
1615nn0red 8982 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
17 peano2rem 7993 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑋) ∈ ℝ → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℝ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℝ)
1918adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℝ)
2016adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
21 elfzle2 9748 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) → 𝐴 ≤ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))
2221adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐴 ≤ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))
23 zfz1isolemiso.mx . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀𝑋)
24 hashdifsn 10505 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑋) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
2513, 23, 24syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
2625adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
2722, 26breqtrd 3922 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐴 ≤ ((♯‘𝑋) − 1))
2820ltm1d 8647 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((♯‘𝑋) − 1) < (♯‘𝑋))
2912, 19, 20, 27, 28lelttrd 7851 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐴 < (♯‘𝑋))
3012, 29gtned 7840 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘𝑋) ≠ 𝐴)
31 fvunsng 5580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (1...(♯‘𝑋)) ∧ (♯‘𝑋) ≠ 𝐴) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) = (𝐺𝐴))
328, 30, 31syl2anc 406 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) = (𝐺𝐴))
3332adantr 272 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) = (𝐺𝐴))
34 zfz1isolemiso.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (1...(♯‘𝑋)))
3534ad2antrr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ∈ (1...(♯‘𝑋)))
36 elfzelz 9746 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (1...(♯‘𝑋)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3734, 36syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3837zred 9124 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ∈ ℝ)
4018ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℝ)
4116ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
42 elfzle2 9748 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) → 𝐵 ≤ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))
4342adantl 273 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ≤ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))
4425ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
4543, 44breqtrd 3922 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ≤ ((♯‘𝑋) − 1))
4616ltm1d 8647 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑋) − 1) < (♯‘𝑋))
4746ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((♯‘𝑋) − 1) < (♯‘𝑋))
4839, 40, 41, 45, 47lelttrd 7851 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 < (♯‘𝑋))
4939, 48gtned 7840 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘𝑋) ≠ 𝐵)
50 fvunsng 5580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (1...(♯‘𝑋)) ∧ (♯‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) = (𝐺𝐵))
5135, 49, 50syl2anc 406 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) = (𝐺𝐵))
5233, 51breq12d 3910 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
536, 52bitr4d 190 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵)))
5429adantr 272 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → 𝐴 < (♯‘𝑋))
55 elsni 3513 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)} → 𝐵 = (♯‘𝑋))
5655adantl 273 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → 𝐵 = (♯‘𝑋))
5754, 56breqtrrd 3924 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → 𝐴 < 𝐵)
58 isof1o 5674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Isom < , < ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))), (𝑋 ∖ {𝑀})) → 𝐺:(1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))–1-1-onto→(𝑋 ∖ {𝑀}))
591, 58syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:(1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))–1-1-onto→(𝑋 ∖ {𝑀}))
60 f1of 5333 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:(1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))–1-1-onto→(𝑋 ∖ {𝑀}) → 𝐺:(1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))⟶(𝑋 ∖ {𝑀}))
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:(1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))⟶(𝑋 ∖ {𝑀}))
6261ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐴) ∈ (𝑋 ∖ {𝑀}))
6362eldifbd 3051 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ¬ (𝐺𝐴) ∈ {𝑀})
64 elsn2g 3526 . . . . . . . . . . 11 (𝑀𝑋 → ((𝐺𝐴) ∈ {𝑀} ↔ (𝐺𝐴) = 𝑀))
6523, 64syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺𝐴) ∈ {𝑀} ↔ (𝐺𝐴) = 𝑀))
6665adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺𝐴) ∈ {𝑀} ↔ (𝐺𝐴) = 𝑀))
6763, 66mtbid 644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ¬ (𝐺𝐴) = 𝑀)
68 breq1 3900 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐺𝐴) → (𝑧𝑀 ↔ (𝐺𝐴) ≤ 𝑀))
69 zfz1isolemiso.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 𝑧𝑀)
7069adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ∀𝑧𝑋 𝑧𝑀)
7162eldifad 3050 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
7268, 70, 71rspcdva 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐴) ≤ 𝑀)
73 zfz1isolemiso.xz . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℤ)
7473adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝑋 ⊆ ℤ)
7574, 71sseldd 3066 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
7673, 23sseldd 3066 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7776adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝑀 ∈ ℤ)
78 zleloe 9052 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ 𝑀 ↔ ((𝐺𝐴) < 𝑀 ∨ (𝐺𝐴) = 𝑀)))
7975, 77, 78syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺𝐴) ≤ 𝑀 ↔ ((𝐺𝐴) < 𝑀 ∨ (𝐺𝐴) = 𝑀)))
8072, 79mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺𝐴) < 𝑀 ∨ (𝐺𝐴) = 𝑀))
8167, 80ecased 1310 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐴) < 𝑀)
8215nn0zd 9122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
83 peano2zm 9043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℤ)
8482, 83syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℤ)
85 zltnle 9051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑋) − 1) < (♯‘𝑋) ↔ ¬ (♯‘𝑋) ≤ ((♯‘𝑋) − 1)))
8684, 82, 85syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1) < (♯‘𝑋) ↔ ¬ (♯‘𝑋) ≤ ((♯‘𝑋) − 1)))
8746, 86mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑋) ≤ ((♯‘𝑋) − 1))
8825breq2d 3909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ≤ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) ↔ (♯‘𝑋) ≤ ((♯‘𝑋) − 1)))
8987, 88mtbird 645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑋) ≤ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))
90 elfzle2 9748 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑋) ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))
9189, 90nsyl 600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑋) ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))))
92 fdm 5246 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:(1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))⟶(𝑋 ∖ {𝑀}) → dom 𝐺 = (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))))
9361, 92syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐺 = (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))))
9491, 93neleqtrrd 2214 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑋) ∈ dom 𝐺)
95 fsnunfv 5587 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑋) ∈ ℕ0𝑀𝑋 ∧ ¬ (♯‘𝑋) ∈ dom 𝐺) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)) = 𝑀)
9615, 23, 94, 95syl3anc 1199 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)) = 𝑀)
9796adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)) = 𝑀)
9881, 32, 973brtr4d 3928 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)))
9998adantr 272 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)))
10056fveq2d 5391 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) = ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)))
10199, 100breqtrrd 3924 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵))
10257, 1012thd 174 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵)))
10313, 23zfz1isolemsplit 10521 . . . . . 6 (𝜑 → (1...(♯‘𝑋)) = ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
10434, 103eleqtrd 2194 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
105 elun 3185 . . . . 5 (𝐵 ∈ ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}) ↔ (𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∨ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}))
106104, 105sylib 121 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∨ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}))
107106adantr 272 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∨ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}))
10853, 102, 107mpjaodan 770 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵)))
10938ad2antrr 477 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11011ad2antrr 477 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐴 ∈ ℝ)
111 elfzle2 9748 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (1...(♯‘𝑋)) → 𝐵 ≤ (♯‘𝑋))
11234, 111syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ (♯‘𝑋))
113112ad2antrr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ≤ (♯‘𝑋))
114 elsni 3513 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)} → 𝐴 = (♯‘𝑋))
115114ad2antlr 478 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐴 = (♯‘𝑋))
116113, 115breqtrrd 3924 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵𝐴)
117109, 110, 116lensymd 7848 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
11873ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝑋 ⊆ ℤ)
11961ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐺:(1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))⟶(𝑋 ∖ {𝑀}))
120 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))))
121119, 120ffvelrnd 5522 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐵) ∈ (𝑋 ∖ {𝑀}))
122121eldifad 3050 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
123118, 122sseldd 3066 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
124123zred 9124 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
12576zred 9124 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
126125ad2antrr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝑀 ∈ ℝ)
127 breq1 3900 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐺𝐵) → (𝑧𝑀 ↔ (𝐺𝐵) ≤ 𝑀))
12869ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ∀𝑧𝑋 𝑧𝑀)
129127, 128, 122rspcdva 2766 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐺𝐵) ≤ 𝑀)
130124, 126, 129lensymd 7848 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ¬ 𝑀 < (𝐺𝐵))
131115fveq2d 5391 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) = ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)))
13296ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)) = 𝑀)
133131, 132eqtrd 2148 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) = 𝑀)
13434ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ∈ (1...(♯‘𝑋)))
13518ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℝ)
13616ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
13742adantl 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ≤ (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))
13825ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})) = ((♯‘𝑋) − 1))
139137, 138breqtrd 3922 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 ≤ ((♯‘𝑋) − 1))
14046ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((♯‘𝑋) − 1) < (♯‘𝑋))
141109, 135, 136, 139, 140lelttrd 7851 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → 𝐵 < (♯‘𝑋))
142109, 141gtned 7840 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (♯‘𝑋) ≠ 𝐵)
143134, 142, 50syl2anc 406 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) = (𝐺𝐵))
144133, 143breq12d 3910 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) ↔ 𝑀 < (𝐺𝐵)))
145130, 144mtbird 645 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → ¬ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵))
146117, 1452falsed 674 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀})))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵)))
14738ad2antrr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
148147ltnrd 7839 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
149114ad2antlr 478 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → 𝐴 = (♯‘𝑋))
15055adantl 273 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → 𝐵 = (♯‘𝑋))
151149, 150eqtr4d 2151 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → 𝐴 = 𝐵)
152151breq1d 3907 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵))
153148, 152mtbird 645 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
154125ad2antrr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → 𝑀 ∈ ℝ)
155154ltnrd 7839 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ¬ 𝑀 < 𝑀)
156149fveq2d 5391 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) = ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)))
15796ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)) = 𝑀)
158156, 157eqtrd 2148 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) = 𝑀)
159150fveq2d 5391 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) = ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘(♯‘𝑋)))
160159, 157eqtrd 2148 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) = 𝑀)
161158, 160breq12d 3910 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → (((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵) ↔ 𝑀 < 𝑀))
162155, 161mtbird 645 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → ¬ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵))
163153, 1622falsed 674 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) ∧ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵)))
164106adantr 272 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) → (𝐵 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∨ 𝐵 ∈ {(♯‘𝑋)}))
165146, 163, 164mpjaodan 770 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵)))
1667, 103eleqtrd 2194 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}))
167 elun 3185 . . 3 (𝐴 ∈ ((1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∪ {(♯‘𝑋)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∨ 𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}))
168166, 167sylib 121 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...(♯‘(𝑋 ∖ {𝑀}))) ∨ 𝐴 ∈ {(♯‘𝑋)}))
169108, 165, 168mpjaodan 770 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐴) < ((𝐺 ∪ {⟨(♯‘𝑋), 𝑀⟩})‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283  wral 2391  cdif 3036  cun 3037  wss 3039  {csn 3495  cop 3498   class class class wbr 3897  dom cdm 4507  wf 5087  1-1-ontowf1o 5090  cfv 5091   Isom wiso 5092  (class class class)co 5740  Fincfn 6600  cr 7583  1c1 7585   < clt 7764  cle 7765  cmin 7897  0cn0 8928  cz 9005  ...cfz 9730  chash 10461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-ihash 10462
This theorem is referenced by:  zfz1isolem1  10523
  Copyright terms: Public domain W3C validator