Theorem fsumrelem 11636

Description: Lemma for fsumre 11637, fsumim 11638, and fsumcj 11639. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumre.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumrelem.3	⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
fsumrelem.4	⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11520	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3		sumeq1 11520	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵))
4	2, 3	eqeq12d 2211	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵)))
5		sumeq1 11520	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵)
6	5	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵))
7		sumeq1 11520	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵))
8	6, 7	eqeq12d 2211	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)))
9		sumeq1 11520	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵)
10	9	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵))
11		sumeq1 11520	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2211	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵)))
13		sumeq1 11520	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14	13	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
15		sumeq1 11520	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))
16	14, 15	eqeq12d 2211	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵)))
17		0cn 8018	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
19	18	ffvelcdmi 5696	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘0) ∈ ℂ
21	20	addridi 8168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘0) + 0) = (𝐹‘0)
22		fvoveq1 5945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(0 + 𝑦)))
23		fveq2 5558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘0))
24	23	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)))
25	22, 24	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦))))
26		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = (0 + 0))
27		00id 8167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = 0)
29	28	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘(0 + 𝑦)) = (𝐹‘0))
30		fveq2 5558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘0))
31	30	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
32	29, 31	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))))
33		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
34	25, 32, 33	vtocl2ga 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
35	17, 17, 34	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))
36	21, 35	eqtr2i 2218	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0)
37	20, 20, 17	addcani 8208	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0) ↔ (𝐹‘0) = 0)
38	36, 37	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = 0
39		sum0 11553	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
40	39	fveq2i 5561	. . . 4 ⊢ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝐹‘0)
41		sum0 11553	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵) = 0
42	38, 40, 41	3eqtr4i 2227	. . 3 ⊢ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵)
43	42	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵))
44		nfv 1542	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢)))
45		nfcsb1v 3117	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵
46		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ∈ Fin)
47		vex 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑣 ∈ V
48	47	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ V)
49		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
50	49	eldifbd 3169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
51		simplll 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝜑)
52		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
53	52	sselda 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝑘 ∈ 𝐴)
54		fsumre.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		csbeq1a 3093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)
57	49	eldifad 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
58	54	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
60	45	nfel1 2350	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
61	56	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
62	60, 61	rspc 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
63	57, 59, 62	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
64	44, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63	fsumsplitsn 11575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
66	65	fveq2d 5562	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
67	46, 55	fsumcl 11565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
68	67	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
69	63	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
70		fvoveq1 5945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)))
71		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵))
72	71	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)))
73	70, 72	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦))))
74		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
75	74	fveq2d 5562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
76		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
77	76	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
78	75, 77	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → ((𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))))
79	73, 78, 33	vtocl2ga 2832	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
80	68, 69, 79	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
81		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵))
82	81	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
83	66, 80, 82	3eqtrd 2233	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
84		nfcv 2339	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
85	84, 45	nffv 5568	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)
86	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
87	86, 55	ffvelcdmd 5698	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
88	56	fveq2d 5562	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
89	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
90	89, 63	ffvelcdmd 5698	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℂ)
91	44, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90	fsumsplitsn 11575	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
92	91	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
93	83, 92	eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵))
94	93	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵)))
95		fsumre.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
96	4, 8, 12, 16, 43, 94, 95	findcard2sd 6953	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763  ⦋csb 3084   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  {csn 3622  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Fincfn 6799  ℂcc 7877  0cc0 7879   + caddc 7882  Σcsu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  fsumre  11637  fsumim  11638  fsumcj  11639