ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumrelem GIF version

Theorem fsumrelem 11363
Description: Lemma for fsumre 11364, fsumim 11365, and fsumcj 11366. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumre.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumre.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumrelem.3 𝐹:ℂ⟶ℂ
fsumrelem.4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
fsumrelem (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrelem
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11247 . . . 4 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21fveq2d 5471 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3 sumeq1 11247 . . 3 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵))
42, 3eqeq12d 2172 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵)))
5 sumeq1 11247 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑢 𝐵)
65fveq2d 5471 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵))
7 sumeq1 11247 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵))
86, 7eqeq12d 2172 . 2 (𝑤 = 𝑢 → ((𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)))
9 sumeq1 11247 . . . 4 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵)
109fveq2d 5471 . . 3 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵))
11 sumeq1 11247 . . 3 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵))
1210, 11eqeq12d 2172 . 2 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵)))
13 sumeq1 11247 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1413fveq2d 5471 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘𝐴 𝐵))
15 sumeq1 11247 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝐵))
1614, 15eqeq12d 2172 . 2 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝐵)))
17 0cn 7865 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
18 fsumrelem.3 . . . . . . . . 9 𝐹:ℂ⟶ℂ
1918ffvelrni 5600 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
2017, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹‘0) ∈ ℂ
2120addid1i 8012 . . . . . 6 ((𝐹‘0) + 0) = (𝐹‘0)
22 fvoveq1 5844 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(0 + 𝑦)))
23 fveq2 5467 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
2423oveq1d 5836 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹𝑦)))
2522, 24eqeq12d 2172 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹𝑦))))
26 oveq2 5829 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = (0 + 0))
27 00id 8011 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
2826, 27eqtrdi 2206 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = 0)
2928fveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝐹‘(0 + 𝑦)) = (𝐹‘0))
30 fveq2 5467 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘0))
3130oveq2d 5837 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((𝐹‘0) + (𝐹𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
3229, 31eqeq12d 2172 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))))
33 fsumrelem.4 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
3425, 32, 33vtocl2ga 2780 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
3517, 17, 34mp2an 423 . . . . . 6 (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))
3621, 35eqtr2i 2179 . . . . 5 ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0)
3720, 20, 17addcani 8052 . . . . 5 (((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0) ↔ (𝐹‘0) = 0)
3836, 37mpbi 144 . . . 4 (𝐹‘0) = 0
39 sum0 11280 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
4039fveq2i 5470 . . . 4 (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝐹‘0)
41 sum0 11280 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵) = 0
4238, 40, 413eqtr4i 2188 . . 3 (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵)
4342a1i 9 . 2 (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵))
44 nfv 1508 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢)))
45 nfcsb1v 3064 . . . . . . . 8 𝑘𝑣 / 𝑘𝐵
46 simplr 520 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑢 ∈ Fin)
47 vex 2715 . . . . . . . . 9 𝑣 ∈ V
4847a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣 ∈ V)
49 simprr 522 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴𝑢))
5049eldifbd 3114 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → ¬ 𝑣𝑢)
51 simplll 523 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → 𝜑)
52 simprl 521 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑢𝐴)
5352sselda 3128 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → 𝑘𝐴)
54 fsumre.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5551, 53, 54syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
56 csbeq1a 3040 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑣𝐵 = 𝑣 / 𝑘𝐵)
5749eldifad 3113 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣𝐴)
5854ralrimiva 2530 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5958ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
6045nfel1 2310 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
6156eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑣 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
6260, 61rspc 2810 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
6357, 59, 62sylc 62 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
6444, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63fsumsplitsn 11302 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵))
6564adantr 274 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵))
6665fveq2d 5471 . . . . 5 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)))
6746, 55fsumcl 11292 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → Σ𝑘𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
6867adantr 274 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → Σ𝑘𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
6963adantr 274 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
70 fvoveq1 5844 . . . . . . . 8 (𝑥 = Σ𝑘𝑢 𝐵 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦)))
71 fveq2 5467 . . . . . . . . 9 (𝑥 = Σ𝑘𝑢 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵))
7271oveq1d 5836 . . . . . . . 8 (𝑥 = Σ𝑘𝑢 𝐵 → ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑦)))
7370, 72eqeq12d 2172 . . . . . . 7 (𝑥 = Σ𝑘𝑢 𝐵 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑦))))
74 oveq2 5829 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → (Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦) = (Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵))
7574fveq2d 5471 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)))
76 fveq2 5467 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵))
7776oveq2d 5837 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
7875, 77eqeq12d 2172 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → ((𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵))))
7973, 78, 33vtocl2ga 2780 . . . . . 6 ((Σ𝑘𝑢 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
8068, 69, 79syl2anc 409 . . . . 5 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
81 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵))
8281oveq1d 5836 . . . . 5 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)) = (Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
8366, 80, 823eqtrd 2194 . . . 4 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
84 nfcv 2299 . . . . . . 7 𝑘𝐹
8584, 45nffv 5477 . . . . . 6 𝑘(𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)
8618a1i 9 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
8786, 55ffvelrnd 5602 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
8856fveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑣 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵))
8918a1i 9 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9089, 63ffvelrnd 5602 . . . . . 6 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵) ∈ ℂ)
9144, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90fsumsplitsn 11302 . . . . 5 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵) = (Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
9291adantr 274 . . . 4 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵) = (Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
9383, 92eqtr4d 2193 . . 3 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵))
9493ex 114 . 2 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵)))
95 fsumre.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
964, 8, 12, 16, 43, 94, 95findcard2sd 6834 1 (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  Vcvv 2712  csb 3031  cdif 3099  cun 3100  wss 3102  c0 3394  {csn 3560  wf 5165  cfv 5169  (class class class)co 5821  Fincfn 6682  cc 7725  0cc0 7727   + caddc 7730  Σcsu 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-ihash 10645  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171  df-sumdc 11246
This theorem is referenced by:  fsumre  11364  fsumim  11365  fsumcj  11366
  Copyright terms: Public domain W3C validator