Theorem fsumrelem 11434

Description: Lemma for fsumre 11435, fsumim 11436, and fsumcj 11437. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumre.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumrelem.3	⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
fsumrelem.4	⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11318	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	fveq2d 5500	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3		sumeq1 11318	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵))
4	2, 3	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵)))
5		sumeq1 11318	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵)
6	5	fveq2d 5500	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵))
7		sumeq1 11318	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵))
8	6, 7	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)))
9		sumeq1 11318	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵)
10	9	fveq2d 5500	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵))
11		sumeq1 11318	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵)))
13		sumeq1 11318	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14	13	fveq2d 5500	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
15		sumeq1 11318	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))
16	14, 15	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵)))
17		0cn 7912	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
19	18	ffvelrni 5630	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘0) ∈ ℂ
21	20	addid1i 8061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘0) + 0) = (𝐹‘0)
22		fvoveq1 5876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(0 + 𝑦)))
23		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘0))
24	23	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)))
25	22, 24	eqeq12d 2185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦))))
26		oveq2 5861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = (0 + 0))
27		00id 8060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = 0)
29	28	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘(0 + 𝑦)) = (𝐹‘0))
30		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘0))
31	30	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
32	29, 31	eqeq12d 2185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))))
33		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
34	25, 32, 33	vtocl2ga 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
35	17, 17, 34	mp2an 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))
36	21, 35	eqtr2i 2192	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0)
37	20, 20, 17	addcani 8101	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0) ↔ (𝐹‘0) = 0)
38	36, 37	mpbi 144	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = 0
39		sum0 11351	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
40	39	fveq2i 5499	. . . 4 ⊢ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝐹‘0)
41		sum0 11351	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵) = 0
42	38, 40, 41	3eqtr4i 2201	. . 3 ⊢ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵)
43	42	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵))
44		nfv 1521	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢)))
45		nfcsb1v 3082	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵
46		simplr 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ∈ Fin)
47		vex 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑣 ∈ V
48	47	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ V)
49		simprr 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
50	49	eldifbd 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
51		simplll 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝜑)
52		simprl 526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
53	52	sselda 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝑘 ∈ 𝐴)
54		fsumre.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
55	51, 53, 54	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		csbeq1a 3058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)
57	49	eldifad 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
58	54	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
59	58	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
60	45	nfel1 2323	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
61	56	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
62	60, 61	rspc 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
63	57, 59, 62	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
64	44, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63	fsumsplitsn 11373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
66	65	fveq2d 5500	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
67	46, 55	fsumcl 11363	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
68	67	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
69	63	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
70		fvoveq1 5876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)))
71		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵))
72	71	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)))
73	70, 72	eqeq12d 2185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦))))
74		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
75	74	fveq2d 5500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
76		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
77	76	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
78	75, 77	eqeq12d 2185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → ((𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))))
79	73, 78, 33	vtocl2ga 2798	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
80	68, 69, 79	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
81		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵))
82	81	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
83	66, 80, 82	3eqtrd 2207	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
84		nfcv 2312	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
85	84, 45	nffv 5506	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)
86	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
87	86, 55	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
88	56	fveq2d 5500	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
89	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
90	89, 63	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℂ)
91	44, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90	fsumsplitsn 11373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
92	91	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
93	83, 92	eqtr4d 2206	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵))
94	93	ex 114	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵)))
95		fsumre.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
96	4, 8, 12, 16, 43, 94, 95	findcard2sd 6870	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  Vcvv 2730  ⦋csb 3049   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {csn 3583  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  ℂcc 7772  0cc0 7774   + caddc 7777  Σcsu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  fsumre  11435  fsumim  11436  fsumcj  11437