Theorem fsumrelem 11463

Description: Lemma for fsumre 11464, fsumim 11465, and fsumcj 11466. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumre.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumrelem.3	⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
fsumrelem.4	⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11347	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	fveq2d 5515	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3		sumeq1 11347	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵))
4	2, 3	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵)))
5		sumeq1 11347	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵)
6	5	fveq2d 5515	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵))
7		sumeq1 11347	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵))
8	6, 7	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)))
9		sumeq1 11347	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵)
10	9	fveq2d 5515	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵))
11		sumeq1 11347	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵)))
13		sumeq1 11347	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14	13	fveq2d 5515	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
15		sumeq1 11347	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))
16	14, 15	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵)))
17		0cn 7940	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
19	18	ffvelcdmi 5646	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘0) ∈ ℂ
21	20	addid1i 8089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘0) + 0) = (𝐹‘0)
22		fvoveq1 5892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(0 + 𝑦)))
23		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘0))
24	23	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)))
25	22, 24	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦))))
26		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = (0 + 0))
27		00id 8088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = 0)
29	28	fveq2d 5515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘(0 + 𝑦)) = (𝐹‘0))
30		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘0))
31	30	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
32	29, 31	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))))
33		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
34	25, 32, 33	vtocl2ga 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
35	17, 17, 34	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))
36	21, 35	eqtr2i 2199	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0)
37	20, 20, 17	addcani 8129	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0) ↔ (𝐹‘0) = 0)
38	36, 37	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = 0
39		sum0 11380	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
40	39	fveq2i 5514	. . . 4 ⊢ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝐹‘0)
41		sum0 11380	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵) = 0
42	38, 40, 41	3eqtr4i 2208	. . 3 ⊢ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵)
43	42	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵))
44		nfv 1528	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢)))
45		nfcsb1v 3090	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵
46		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ∈ Fin)
47		vex 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑣 ∈ V
48	47	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ V)
49		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
50	49	eldifbd 3141	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
51		simplll 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝜑)
52		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
53	52	sselda 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝑘 ∈ 𝐴)
54		fsumre.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		csbeq1a 3066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)
57	49	eldifad 3140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
58	54	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
60	45	nfel1 2330	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
61	56	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
62	60, 61	rspc 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
63	57, 59, 62	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
64	44, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63	fsumsplitsn 11402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
66	65	fveq2d 5515	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
67	46, 55	fsumcl 11392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
68	67	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
69	63	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
70		fvoveq1 5892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)))
71		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵))
72	71	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)))
73	70, 72	eqeq12d 2192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦))))
74		oveq2 5877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
75	74	fveq2d 5515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
76		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
77	76	oveq2d 5885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
78	75, 77	eqeq12d 2192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → ((𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))))
79	73, 78, 33	vtocl2ga 2805	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
80	68, 69, 79	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
81		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵))
82	81	oveq1d 5884	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
83	66, 80, 82	3eqtrd 2214	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
84		nfcv 2319	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
85	84, 45	nffv 5521	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)
86	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
87	86, 55	ffvelcdmd 5648	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
88	56	fveq2d 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
89	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
90	89, 63	ffvelcdmd 5648	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℂ)
91	44, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90	fsumsplitsn 11402	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
92	91	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
93	83, 92	eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵))
94	93	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵)))
95		fsumre.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
96	4, 8, 12, 16, 43, 94, 95	findcard2sd 6886	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2737  ⦋csb 3057   ∖ cdif 3126   ∪ cun 3127   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  {csn 3591  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  ℂcc 7800  0cc0 7802   + caddc 7805  Σcsu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  fsumre  11464  fsumim  11465  fsumcj  11466