Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumrelem GIF version

Theorem fsumrelem 10928
 Description: Lemma for fsumre 10929, fsumim 10930, and fsumcj 10931. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumre.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumre.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumrelem.3 𝐹:ℂ⟶ℂ
fsumrelem.4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
fsumrelem (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrelem
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 10807 . . . 4 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21fveq2d 5324 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3 sumeq1 10807 . . 3 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵))
42, 3eqeq12d 2103 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵)))
5 sumeq1 10807 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑢 𝐵)
65fveq2d 5324 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵))
7 sumeq1 10807 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵))
86, 7eqeq12d 2103 . 2 (𝑤 = 𝑢 → ((𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)))
9 sumeq1 10807 . . . 4 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵)
109fveq2d 5324 . . 3 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵))
11 sumeq1 10807 . . 3 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵))
1210, 11eqeq12d 2103 . 2 (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵)))
13 sumeq1 10807 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1413fveq2d 5324 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘𝐴 𝐵))
15 sumeq1 10807 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝐵))
1614, 15eqeq12d 2103 . 2 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘Σ𝑘𝑤 𝐵) = Σ𝑘𝑤 (𝐹𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝐵)))
17 0cn 7543 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
18 fsumrelem.3 . . . . . . . . 9 𝐹:ℂ⟶ℂ
1918ffvelrni 5449 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
2017, 19ax-mp 7 . . . . . . 7 (𝐹‘0) ∈ ℂ
2120addid1i 7687 . . . . . 6 ((𝐹‘0) + 0) = (𝐹‘0)
22 fvoveq1 5691 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(0 + 𝑦)))
23 fveq2 5320 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
2423oveq1d 5683 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹𝑦)))
2522, 24eqeq12d 2103 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹𝑦))))
26 oveq2 5676 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = (0 + 0))
27 00id 7686 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
2826, 27syl6eq 2137 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = 0)
2928fveq2d 5324 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝐹‘(0 + 𝑦)) = (𝐹‘0))
30 fveq2 5320 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘0))
3130oveq2d 5684 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((𝐹‘0) + (𝐹𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
3229, 31eqeq12d 2103 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))))
33 fsumrelem.4 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
3425, 32, 33vtocl2ga 2690 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
3517, 17, 34mp2an 418 . . . . . 6 (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))
3621, 35eqtr2i 2110 . . . . 5 ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0)
3720, 20, 17addcani 7727 . . . . 5 (((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0) ↔ (𝐹‘0) = 0)
3836, 37mpbi 144 . . . 4 (𝐹‘0) = 0
39 sum0 10843 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
4039fveq2i 5323 . . . 4 (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝐹‘0)
41 sum0 10843 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵) = 0
4238, 40, 413eqtr4i 2119 . . 3 (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵)
4342a1i 9 . 2 (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹𝐵))
44 nfv 1467 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢)))
45 nfcsb1v 2966 . . . . . . . 8 𝑘𝑣 / 𝑘𝐵
46 simplr 498 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑢 ∈ Fin)
47 vex 2625 . . . . . . . . 9 𝑣 ∈ V
4847a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣 ∈ V)
49 simprr 500 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴𝑢))
5049eldifbd 3014 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → ¬ 𝑣𝑢)
51 simplll 501 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → 𝜑)
52 simprl 499 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑢𝐴)
5352sselda 3028 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → 𝑘𝐴)
54 fsumre.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5551, 53, 54syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
56 csbeq1a 2944 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑣𝐵 = 𝑣 / 𝑘𝐵)
5749eldifad 3013 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣𝐴)
5854ralrimiva 2447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5958ad2antrr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
6045nfel1 2240 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
6156eleq1d 2157 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑣 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
6260, 61rspc 2719 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
6357, 59, 62sylc 62 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
6444, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63fsumsplitsn 10867 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵))
6564adantr 271 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵))
6665fveq2d 5324 . . . . 5 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)))
6746, 55fsumcl 10857 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → Σ𝑘𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
6867adantr 271 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → Σ𝑘𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
6963adantr 271 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
70 fvoveq1 5691 . . . . . . . 8 (𝑥 = Σ𝑘𝑢 𝐵 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦)))
71 fveq2 5320 . . . . . . . . 9 (𝑥 = Σ𝑘𝑢 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵))
7271oveq1d 5683 . . . . . . . 8 (𝑥 = Σ𝑘𝑢 𝐵 → ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑦)))
7370, 72eqeq12d 2103 . . . . . . 7 (𝑥 = Σ𝑘𝑢 𝐵 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑦))))
74 oveq2 5676 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → (Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦) = (Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵))
7574fveq2d 5324 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)))
76 fveq2 5320 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵))
7776oveq2d 5684 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
7875, 77eqeq12d 2103 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 / 𝑘𝐵 → ((𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵))))
7973, 78, 33vtocl2ga 2690 . . . . . 6 ((Σ𝑘𝑢 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑣 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
8068, 69, 79syl2anc 404 . . . . 5 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘(Σ𝑘𝑢 𝐵 + 𝑣 / 𝑘𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
81 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵))
8281oveq1d 5683 . . . . 5 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)) = (Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
8366, 80, 823eqtrd 2125 . . . 4 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
84 nfcv 2229 . . . . . . 7 𝑘𝐹
8584, 45nffv 5330 . . . . . 6 𝑘(𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)
8618a1i 9 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
8786, 55ffvelrnd 5451 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ 𝑘𝑢) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
8856fveq2d 5324 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑣 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵))
8918a1i 9 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9089, 63ffvelrnd 5451 . . . . . 6 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵) ∈ ℂ)
9144, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90fsumsplitsn 10867 . . . . 5 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵) = (Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
9291adantr 271 . . . 4 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵) = (Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) + (𝐹𝑣 / 𝑘𝐵)))
9383, 92eqtr4d 2124 . . 3 ((((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵))
9493ex 114 . 2 (((𝜑𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢𝐴𝑣 ∈ (𝐴𝑢))) → ((𝐹‘Σ𝑘𝑢 𝐵) = Σ𝑘𝑢 (𝐹𝐵) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹𝐵)))
95 fsumre.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
964, 8, 12, 16, 43, 94, 95findcard2sd 6664 1 (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  Vcvv 2622  ⦋csb 2936   ∖ cdif 2999   ∪ cun 3000   ⊆ wss 3002  ∅c0 3289  {csn 3452  ⟶wf 5026  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  Fincfn 6513  ℂcc 7411  0cc0 7413   + caddc 7416  Σcsu 10805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806 This theorem is referenced by:  fsumre  10929  fsumim  10930  fsumcj  10931
 Copyright terms: Public domain W3C validator