Theorem fsumrelem 11897

Description: Lemma for fsumre 11898, fsumim 11899, and fsumcj 11900. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumre.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumrelem.3	⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
fsumrelem.4	⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	fveq2d 5603	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3		sumeq1 11781	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵))
4	2, 3	eqeq12d 2222	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵)))
5		sumeq1 11781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵)
6	5	fveq2d 5603	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵))
7		sumeq1 11781	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵))
8	6, 7	eqeq12d 2222	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)))
9		sumeq1 11781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵)
10	9	fveq2d 5603	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵))
11		sumeq1 11781	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2222	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵)))
13		sumeq1 11781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14	13	fveq2d 5603	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
15		sumeq1 11781	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))
16	14, 15	eqeq12d 2222	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵)))
17		0cn 8099	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
19	18	ffvelcdmi 5737	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘0) ∈ ℂ
21	20	addridi 8249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘0) + 0) = (𝐹‘0)
22		fvoveq1 5990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(0 + 𝑦)))
23		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘0))
24	23	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)))
25	22, 24	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦))))
26		oveq2 5975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = (0 + 0))
27		00id 8248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 + 𝑦) = 0)
29	28	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘(0 + 𝑦)) = (𝐹‘0))
30		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘0))
31	30	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
32	29, 31	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘(0 + 𝑦)) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))))
33		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
34	25, 32, 33	vtocl2ga 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)))
35	17, 17, 34	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = ((𝐹‘0) + (𝐹‘0))
36	21, 35	eqtr2i 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0)
37	20, 20, 17	addcani 8289	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘0) + (𝐹‘0)) = ((𝐹‘0) + 0) ↔ (𝐹‘0) = 0)
38	36, 37	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = 0
39		sum0 11814	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
40	39	fveq2i 5602	. . . 4 ⊢ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝐹‘0)
41		sum0 11814	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵) = 0
42	38, 40, 41	3eqtr4i 2238	. . 3 ⊢ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵)
43	42	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐹‘𝐵))
44		nfv 1552	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢)))
45		nfcsb1v 3134	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵
46		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ∈ Fin)
47		vex 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑣 ∈ V
48	47	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ V)
49		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
50	49	eldifbd 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ∈ 𝑢)
51		simplll 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝜑)
52		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
53	52	sselda 3201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝑘 ∈ 𝐴)
54		fsumre.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
56		csbeq1a 3110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)
57	49	eldifad 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
58	54	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
60	45	nfel1 2361	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
61	56	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
62	60, 61	rspc 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
63	57, 59, 62	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
64	44, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63	fsumsplitsn 11836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
66	65	fveq2d 5603	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
67	46, 55	fsumcl 11826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
68	67	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ)
69	63	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
70		fvoveq1 5990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)))
71		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵))
72	71	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)))
73	70, 72	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦))))
74		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
75	74	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
76		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
77	76	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
78	75, 77	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 → ((𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + 𝑦)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))))
79	73, 78, 33	vtocl2ga 2846	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
80	68, 69, 79	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘(Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + ⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
81		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵))
82	81	oveq1d 5982	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
83	66, 80, 82	3eqtrd 2244	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
84		nfcv 2350	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
85	84, 45	nffv 5609	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)
86	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
87	86, 55	ffvelcdmd 5739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
88	56	fveq2d 5603	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑣 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵))
89	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
90	89, 63	ffvelcdmd 5739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℂ)
91	44, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90	fsumsplitsn 11836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
92	91	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) + (𝐹‘⦋𝑣 / 𝑘⦌𝐵)))
93	83, 92	eqtr4d 2243	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵))
94	93	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → ((𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑢 (𝐹‘𝐵) → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})𝐵) = Σ𝑘 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})(𝐹‘𝐵)))
95		fsumre.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
96	4, 8, 12, 16, 43, 94, 95	findcard2sd 7015	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  Vcvv 2776  ⦋csb 3101   ∖ cdif 3171   ∪ cun 3172   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  {csn 3643  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  Fincfn 6850  ℂcc 7958  0cc0 7960   + caddc 7963  Σcsu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  fsumre  11898  fsumim  11899  fsumcj  11900