Theorem unfidisj 6920

Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unfidisj	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfidisj

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq2 3283	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝑤) = (𝐴 ∪ ∅))
2	1	eleq1d 2246	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∪ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin))
3		uneq2 3283	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 ∪ 𝑤) = (𝐴 ∪ 𝑦))
4	3	eleq1d 2246	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∪ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin))
5		uneq2 3283	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ∪ 𝑤) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})))
6	5	eleq1d 2246	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∪ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
7		uneq2 3283	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝑤) = (𝐴 ∪ 𝐵))
8	7	eleq1d 2246	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∪ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin))
9		un0 3456	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
10		simp1 997	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
11	9, 10	eqeltrid 2264	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin)
12		unass 3292	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝑦) ∪ {𝑧}) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧}))
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
14		vex 2740	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
15	14	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ V)
16		simplrr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))
17	16	eldifad 3140	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ 𝐵)
18		simp3 999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
19	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
20		minel 3484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
22	16	eldifbd 3141	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
23		ioran 752	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
24	21, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ¬ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
25		elun 3276	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
26	24, 25	sylnibr 677	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ 𝑦))
27		unsnfi 6917	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ 𝑦)) → ((𝐴 ∪ 𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
28	13, 15, 26, 27	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∪ 𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
29	12, 28	eqeltrrid 2265	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
30	29	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) → ((𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
31		simp2 998	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ Fin)
32	2, 4, 6, 8, 11, 30, 31	findcard2sd 6891	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ∖ cdif 3126   ∪ cun 3127   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  {csn 3592  Fincfn 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742

This theorem is referenced by:  unfiin  6924  prfidisj  6925  tpfidisj  6926  xpfi  6928  iunfidisj  6944  hashunlem  10783  hashun  10784  fsumsplitsnun  11426  fsum2dlemstep  11441  fsumconst  11461  fprodsplitsn  11640