Theorem unfidisj 6869

Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unfidisj	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfidisj

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq2 3256	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝑤) = (𝐴 ∪ ∅))
2	1	eleq1d 2226	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∪ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin))
3		uneq2 3256	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 ∪ 𝑤) = (𝐴 ∪ 𝑦))
4	3	eleq1d 2226	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∪ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin))
5		uneq2 3256	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ∪ 𝑤) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})))
6	5	eleq1d 2226	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∪ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
7		uneq2 3256	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝑤) = (𝐴 ∪ 𝐵))
8	7	eleq1d 2226	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∪ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin))
9		un0 3428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
10		simp1 982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
11	9, 10	eqeltrid 2244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin)
12		unass 3265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝑦) ∪ {𝑧}) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧}))
13		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
14		vex 2715	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
15	14	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ V)
16		simplrr 526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))
17	16	eldifad 3113	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ 𝐵)
18		simp3 984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
19	18	ad3antrrr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
20		minel 3456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
21	17, 19, 20	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
22	16	eldifbd 3114	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
23		ioran 742	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
24	21, 22, 23	sylanbrc 414	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ¬ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
25		elun 3249	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
26	24, 25	sylnibr 667	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ 𝑦))
27		unsnfi 6866	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ 𝑦)) → ((𝐴 ∪ 𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
28	13, 15, 26, 27	syl3anc 1220	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∪ 𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
29	12, 28	eqeltrrid 2245	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
30	29	ex 114	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) → ((𝐴 ∪ 𝑦) ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
31		simp2 983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ Fin)
32	2, 4, 6, 8, 11, 30, 31	findcard2sd 6840	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ∖ cdif 3099   ∪ cun 3100   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102  ∅c0 3395  {csn 3561  Fincfn 6688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-1o 6366  df-er 6483  df-en 6689  df-fin 6691

This theorem is referenced by:  unfiin  6873  prfidisj  6874  tpfidisj  6875  xpfi  6877  iunfidisj  6893  hashunlem  10690  hashun  10691  fsumsplitsnun  11328  fsum2dlemstep  11343  fsumconst  11363  fprodsplitsn  11542