ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unfidisj GIF version

Theorem unfidisj 6899
Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfidisj ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfidisj
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 3275 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∪ ∅))
21eleq1d 2239 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin))
3 uneq2 3275 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑦))
43eleq1d 2239 . 2 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
5 uneq2 3275 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})))
65eleq1d 2239 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
7 uneq2 3275 . . 3 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝐵))
87eleq1d 2239 . 2 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
9 un0 3448 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
10 simp1 992 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
119, 10eqeltrid 2257 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin)
12 unass 3284 . . . 4 ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧}))
13 simpr 109 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)
14 vex 2733 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
1514a1i 9 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ V)
16 simplrr 531 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐵𝑦))
1716eldifad 3132 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → 𝑧𝐵)
18 simp3 994 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
1918ad3antrrr 489 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴𝐵) = ∅)
20 minel 3476 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ¬ 𝑧𝐴)
2117, 19, 20syl2anc 409 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝐴)
2216eldifbd 3133 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝑦)
23 ioran 747 . . . . . . 7 (¬ (𝑧𝐴𝑧𝑦) ↔ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦))
2421, 22, 23sylanbrc 415 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ¬ (𝑧𝐴𝑧𝑦))
25 elun 3268 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑦))
2624, 25sylnibr 672 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
27 unsnfi 6896 . . . . 5 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
2813, 15, 26, 27syl3anc 1233 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
2912, 28eqeltrrid 2258 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
3029ex 114 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) → ((𝐴𝑦) ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
31 simp2 993 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ Fin)
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6870 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  cdif 3118  cun 3119  cin 3120  wss 3121  c0 3414  {csn 3583  Fincfn 6718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721
This theorem is referenced by:  unfiin  6903  prfidisj  6904  tpfidisj  6905  xpfi  6907  iunfidisj  6923  hashunlem  10739  hashun  10740  fsumsplitsnun  11382  fsum2dlemstep  11397  fsumconst  11417  fprodsplitsn  11596
  Copyright terms: Public domain W3C validator