ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unfidisj GIF version

Theorem unfidisj 6776
Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfidisj ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfidisj
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 3192 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∪ ∅))
21eleq1d 2184 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin))
3 uneq2 3192 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑦))
43eleq1d 2184 . 2 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
5 uneq2 3192 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})))
65eleq1d 2184 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
7 uneq2 3192 . . 3 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝐵))
87eleq1d 2184 . 2 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
9 un0 3364 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
10 simp1 964 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
119, 10eqeltrid 2202 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin)
12 unass 3201 . . . 4 ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧}))
13 simpr 109 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)
14 vex 2661 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
1514a1i 9 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ V)
16 simplrr 508 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐵𝑦))
1716eldifad 3050 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → 𝑧𝐵)
18 simp3 966 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
1918ad3antrrr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴𝐵) = ∅)
20 minel 3392 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ¬ 𝑧𝐴)
2117, 19, 20syl2anc 406 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝐴)
2216eldifbd 3051 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧𝑦)
23 ioran 724 . . . . . . 7 (¬ (𝑧𝐴𝑧𝑦) ↔ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦))
2421, 22, 23sylanbrc 411 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ¬ (𝑧𝐴𝑧𝑦))
25 elun 3185 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑦))
2624, 25sylnibr 649 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
27 unsnfi 6773 . . . . 5 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
2813, 15, 26, 27syl3anc 1199 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
2912, 28eqeltrrid 2203 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
3029ex 114 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) → ((𝐴𝑦) ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
31 simp2 965 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ Fin)
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6752 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2658  cdif 3036  cun 3037  cin 3038  wss 3039  c0 3331  {csn 3495  Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  unfiin  6780  prfidisj  6781  tpfidisj  6782  xpfi  6784  iunfidisj  6800  hashunlem  10501  hashun  10502  fsumsplitsnun  11139  fsum2dlemstep  11154  fsumconst  11174
  Copyright terms: Public domain W3C validator