ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodle GIF version

Theorem fprodle 11648
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodle.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodle.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fprodle.0l3b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
fprodle.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
fprodle.blec ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
fprodle (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
2 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ)
31, 2breq12d 4017 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ โ†” โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ))
4 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
5 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ)
64, 5breq12d 4017 . 2 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ โ†” โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ))
7 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต)
8 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ถ)
97, 8breq12d 4017 . 2 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ โ†” โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ถ))
10 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
11 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
1210, 11breq12d 4017 . 2 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ โ†” โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ))
13 prod0 11593 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 1
14 prod0 11593 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1
1513, 14eqtr4i 2201 . . 3 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ
16 1re 7956 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
1713, 16eqeltri 2250 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต โˆˆ โ„
1817eqlei 8051 . . 3 (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ)
1915, 18mp1i 10 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ)
20 fprodle.kph . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
21 nfv 1528 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘ฆ โˆˆ Fin
2220, 21nfan 1565 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
23 nfv 1528 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
2422, 23nfan 1565 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)))
25 simplr 528 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
26 simplll 533 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐œ‘)
27 simplrl 535 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โŠ† ๐ด)
28 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ)
2927, 28sseldd 3157 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
30 fprodle.b . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3126, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3224, 25, 31fprodreclf 11622 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„)
3332adantr 276 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„)
34 fprodle.c . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3526, 29, 34syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3624, 25, 35fprodreclf 11622 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ โˆˆ โ„)
3736adantr 276 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ โˆˆ โ„)
38 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐œ‘)
39 simprr 531 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
4039eldifad 3141 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ด)
4130ex 115 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ โ„))
4220, 41ralrimi 2548 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„)
43 nfv 1528 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ง ๐ต โˆˆ โ„
44 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต
4544nfel1 2330 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„
46 csbeq1a 3067 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
4746eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
4843, 45, 47cbvral 2700 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
4942, 48sylib 122 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
50 rsp 2524 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
5149, 50syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
5238, 40, 51sylc 62 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
5352adantr 276 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
5434ex 115 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„))
5520, 54ralrimi 2548 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„)
56 nfv 1528 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ง ๐ถ โˆˆ โ„
57 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ
5857nfel1 2330 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„
59 csbeq1a 3067 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
6059eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„))
6156, 58, 60cbvral 2700 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„)
6255, 61sylib 122 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„)
63 rsp 2524 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„))
6462, 63syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„))
6538, 40, 64sylc 62 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„)
6665adantr 276 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„)
67 fprodle.0l3b . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6826, 29, 67syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6924, 25, 31, 68fprodge0 11645 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
7069adantr 276 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
7167ex 115 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
7220, 71ralrimi 2548 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐ต)
7338, 72syl 14 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐ต)
74 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜0
75 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜ โ‰ค
7674, 75, 44nfbr 4050 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜0 โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต
7746breq2d 4016 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
7876, 77rspc 2836 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐ต โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
7940, 73, 78sylc 62 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
8079adantr 276 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
81 simpr 110 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ)
8240adantr 276 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ด)
83 fprodle.blec . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
8483ex 115 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ))
8520, 84ralrimi 2548 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐ถ)
8685ad3antrrr 492 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐ถ)
8744, 75, 57nfbr 4050 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ
8846, 59breq12d 4017 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ถ โ†” โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
8987, 88rspc 2836 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐ถ โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
9082, 86, 89sylc 62 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โ‰ค โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
9133, 37, 53, 66, 70, 80, 81, 90lemul12ad 8899 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โ‰ค (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
9239eldifbd 3142 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
9330recnd 7986 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9426, 29, 93syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9552recnd 7986 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
9624, 44, 25, 39, 92, 94, 46, 95fprodsplitsn 11641 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
9735recnd 7986 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9865recnd 7986 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9924, 57, 25, 39, 92, 97, 59, 98fprodsplitsn 11641 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
10096, 99breq12d 4017 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ถ โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โ‰ค (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)))
101100adantr 276 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ถ โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โ‰ค (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)))
10291, 101mpbird 167 . . 3 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ถ)
103102ex 115 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ถ))
104 fprodle.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
1053, 6, 9, 12, 19, 103, 104findcard2sd 6892 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353  โ„ฒwnf 1460   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โฆ‹csb 3058   โˆ– cdif 3127   โˆช cun 3128   โŠ† wss 3130  โˆ…c0 3423  {csn 3593   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   ยท cmul 7816   โ‰ค cle 7993  โˆcprod 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator