ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodle GIF version

Theorem fprodle 11532
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph 𝑘𝜑
fprodle.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fprodle (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11445 . . 3 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 prodeq1 11445 . . 3 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
31, 2breq12d 3978 . 2 (𝑤 = ∅ → (∏𝑘𝑤 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑤 𝐶 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
4 prodeq1 11445 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
5 prodeq1 11445 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝑦 𝐶)
64, 5breq12d 3978 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘𝑤 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑤 𝐶 ↔ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶))
7 prodeq1 11445 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
8 prodeq1 11445 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶)
97, 8breq12d 3978 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑤 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑤 𝐶 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶))
10 prodeq1 11445 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
11 prodeq1 11445 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
1210, 11breq12d 3978 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘𝑤 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑤 𝐶 ↔ ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶))
13 prod0 11477 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
14 prod0 11477 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
1513, 14eqtr4i 2181 . . 3 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
16 1re 7872 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1713, 16eqeltri 2230 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℝ
1817eqlei 7965 . . 3 (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
1915, 18mp1i 10 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
20 fprodle.kph . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
21 nfv 1508 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑦 ∈ Fin
2220, 21nfan 1545 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑦 ∈ Fin)
23 nfv 1508 . . . . . . . 8 𝑘(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2422, 23nfan 1545 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)))
25 simplr 520 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
26 simplll 523 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
27 simplrl 525 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
28 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
2927, 28sseldd 3129 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
30 fprodle.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3126, 29, 30syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
3224, 25, 31fprodreclf 11506 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
3332adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
34 fprodle.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3526, 29, 34syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℝ)
3624, 25, 35fprodreclf 11506 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐶 ∈ ℝ)
3736adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∏𝑘𝑦 𝐶 ∈ ℝ)
38 simpll 519 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝜑)
39 simprr 522 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
4039eldifad 3113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
4130ex 114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ))
4220, 41ralrimi 2528 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
43 nfv 1508 . . . . . . . . . 10 𝑧 𝐵 ∈ ℝ
44 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
4544nfel1 2310 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
46 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4746eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
4843, 45, 47cbvral 2676 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
4942, 48sylib 121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
50 rsp 2504 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
5149, 50syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
5238, 40, 51sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
5352adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
5434ex 114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ))
5520, 54ralrimi 2528 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
56 nfv 1508 . . . . . . . . . 10 𝑧 𝐶 ∈ ℝ
57 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐶
5857nfel1 2310 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ
59 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐶 = 𝑧 / 𝑘𝐶)
6059eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ))
6156, 58, 60cbvral 2676 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ)
6255, 61sylib 121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ)
63 rsp 2504 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ))
6462, 63syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ))
6538, 40, 64sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ)
6665adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ)
67 fprodle.0l3b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
6826, 29, 67syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 0 ≤ 𝐵)
6924, 25, 31, 68fprodge0 11529 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 0 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐵)
7069adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 0 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐵)
7167ex 114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → 0 ≤ 𝐵))
7220, 71ralrimi 2528 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 0 ≤ 𝐵)
7338, 72syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 0 ≤ 𝐵)
74 nfcv 2299 . . . . . . . . 9 𝑘0
75 nfcv 2299 . . . . . . . . 9 𝑘
7674, 75, 44nfbr 4010 . . . . . . . 8 𝑘0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵
7746breq2d 3977 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑧 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵))
7876, 77rspc 2810 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 0 ≤ 𝐵 → 0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵))
7940, 73, 78sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵)
8079adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵)
81 simpr 109 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶)
8240adantr 274 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 𝑧𝐴)
83 fprodle.blec . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
8483ex 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝐶))
8520, 84ralrimi 2528 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝐶)
8685ad3antrrr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∀𝑘𝐴 𝐵𝐶)
8744, 75, 57nfbr 4010 . . . . . . 7 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵𝑧 / 𝑘𝐶
8846, 59breq12d 3978 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵𝐶𝑧 / 𝑘𝐵𝑧 / 𝑘𝐶))
8987, 88rspc 2810 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵𝐶𝑧 / 𝑘𝐵𝑧 / 𝑘𝐶))
9082, 86, 89sylc 62 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 𝑧 / 𝑘𝐵𝑧 / 𝑘𝐶)
9133, 37, 53, 66, 70, 80, 81, 90lemul12ad 8808 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ≤ (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑧 / 𝑘𝐶))
9239eldifbd 3114 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
9330recnd 7901 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9426, 29, 93syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
9552recnd 7901 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
9624, 44, 25, 39, 92, 94, 46, 95fprodsplitsn 11525 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
9735recnd 7901 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
9865recnd 7901 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
9924, 57, 25, 39, 92, 97, 59, 98fprodsplitsn 11525 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶 = (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑧 / 𝑘𝐶))
10096, 99breq12d 3978 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ≤ (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑧 / 𝑘𝐶)))
101100adantr 274 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ≤ (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑧 / 𝑘𝐶)))
10291, 101mpbird 166 . . 3 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶)
103102ex 114 . 2 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶 → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶))
104 fprodle.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1053, 6, 9, 12, 19, 103, 104findcard2sd 6834 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wnf 1440  wcel 2128  wral 2435  csb 3031  cdif 3099  cun 3100  wss 3102  c0 3394  {csn 3560   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  Fincfn 6682  cc 7725  cr 7726  0cc0 7727  1c1 7728   · cmul 7732  cle 7908  cprod 11442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-ico 9793  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-ihash 10645  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171  df-proddc 11443
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator