ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodle GIF version

Theorem fprodle 11603
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph 𝑘𝜑
fprodle.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fprodle (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
31, 2breq12d 4002 . 2 (𝑤 = ∅ → (∏𝑘𝑤 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑤 𝐶 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
4 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
5 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝑦 𝐶)
64, 5breq12d 4002 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘𝑤 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑤 𝐶 ↔ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶))
7 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
8 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶)
97, 8breq12d 4002 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑤 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑤 𝐶 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶))
10 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
11 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
1210, 11breq12d 4002 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘𝑤 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑤 𝐶 ↔ ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶))
13 prod0 11548 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
14 prod0 11548 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
1513, 14eqtr4i 2194 . . 3 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
16 1re 7919 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1713, 16eqeltri 2243 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℝ
1817eqlei 8013 . . 3 (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
1915, 18mp1i 10 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
20 fprodle.kph . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
21 nfv 1521 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑦 ∈ Fin
2220, 21nfan 1558 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑦 ∈ Fin)
23 nfv 1521 . . . . . . . 8 𝑘(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2422, 23nfan 1558 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)))
25 simplr 525 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
26 simplll 528 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
27 simplrl 530 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
28 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
2927, 28sseldd 3148 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
30 fprodle.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3126, 29, 30syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
3224, 25, 31fprodreclf 11577 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
3332adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
34 fprodle.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3526, 29, 34syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℝ)
3624, 25, 35fprodreclf 11577 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐶 ∈ ℝ)
3736adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∏𝑘𝑦 𝐶 ∈ ℝ)
38 simpll 524 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝜑)
39 simprr 527 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
4039eldifad 3132 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
4130ex 114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ))
4220, 41ralrimi 2541 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
43 nfv 1521 . . . . . . . . . 10 𝑧 𝐵 ∈ ℝ
44 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
4544nfel1 2323 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
46 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4746eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
4843, 45, 47cbvral 2692 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
4942, 48sylib 121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
50 rsp 2517 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
5149, 50syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
5238, 40, 51sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
5352adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
5434ex 114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ))
5520, 54ralrimi 2541 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
56 nfv 1521 . . . . . . . . . 10 𝑧 𝐶 ∈ ℝ
57 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐶
5857nfel1 2323 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ
59 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐶 = 𝑧 / 𝑘𝐶)
6059eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ))
6156, 58, 60cbvral 2692 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ)
6255, 61sylib 121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ)
63 rsp 2517 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ))
6462, 63syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ))
6538, 40, 64sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ)
6665adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℝ)
67 fprodle.0l3b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
6826, 29, 67syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 0 ≤ 𝐵)
6924, 25, 31, 68fprodge0 11600 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 0 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐵)
7069adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 0 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐵)
7167ex 114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → 0 ≤ 𝐵))
7220, 71ralrimi 2541 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 0 ≤ 𝐵)
7338, 72syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 0 ≤ 𝐵)
74 nfcv 2312 . . . . . . . . 9 𝑘0
75 nfcv 2312 . . . . . . . . 9 𝑘
7674, 75, 44nfbr 4035 . . . . . . . 8 𝑘0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵
7746breq2d 4001 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑧 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵))
7876, 77rspc 2828 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 0 ≤ 𝐵 → 0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵))
7940, 73, 78sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵)
8079adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 0 ≤ 𝑧 / 𝑘𝐵)
81 simpr 109 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶)
8240adantr 274 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 𝑧𝐴)
83 fprodle.blec . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
8483ex 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝐶))
8520, 84ralrimi 2541 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝐶)
8685ad3antrrr 489 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∀𝑘𝐴 𝐵𝐶)
8744, 75, 57nfbr 4035 . . . . . . 7 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵𝑧 / 𝑘𝐶
8846, 59breq12d 4002 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵𝐶𝑧 / 𝑘𝐵𝑧 / 𝑘𝐶))
8987, 88rspc 2828 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵𝐶𝑧 / 𝑘𝐵𝑧 / 𝑘𝐶))
9082, 86, 89sylc 62 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → 𝑧 / 𝑘𝐵𝑧 / 𝑘𝐶)
9133, 37, 53, 66, 70, 80, 81, 90lemul12ad 8858 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ≤ (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑧 / 𝑘𝐶))
9239eldifbd 3133 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
9330recnd 7948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9426, 29, 93syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
9552recnd 7948 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
9624, 44, 25, 39, 92, 94, 46, 95fprodsplitsn 11596 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
9735recnd 7948 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
9865recnd 7948 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
9924, 57, 25, 39, 92, 97, 59, 98fprodsplitsn 11596 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶 = (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑧 / 𝑘𝐶))
10096, 99breq12d 4002 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ≤ (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑧 / 𝑘𝐶)))
101100adantr 274 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ≤ (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑧 / 𝑘𝐶)))
10291, 101mpbird 166 . . 3 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶)
103102ex 114 . 2 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵 ≤ ∏𝑘𝑦 𝐶 → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶))
104 fprodle.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1053, 6, 9, 12, 19, 103, 104findcard2sd 6870 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wnf 1453  wcel 2141  wral 2448  csb 3049  cdif 3118  cun 3119  wss 3121  c0 3414  {csn 3583   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  cc 7772  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  cle 7955  cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator