Theorem fprodcl2lem 12350

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fprodcl2lem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2	1	neneqd 2441	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
3		eqeq1 2245	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 = ∅ ↔ ∅ = ∅))
4		prodeq1 12298	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
5	4	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆))
6	3, 5	orbi12d 805	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (∅ = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆)))
7		eqeq1 2245	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
8		prodeq1 12298	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
9	8	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆))
10	7, 9	orbi12d 805	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆)))
11		eqeq1 2245	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤 = ∅ ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅))
12		prodeq1 12298	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
13	12	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
14	11, 13	orbi12d 805	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
15		eqeq1 2245	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
16		prodeq1 12298	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
18	15, 17	orbi12d 805	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)))
19		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ = ∅)
20	19	orcd 745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆))
21		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
22		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
23		simprr 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
24	23	eldifbd 3232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
26	25	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
27		simplll 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
28		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
30	28, 29	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
31		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
32	27, 30, 31	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ 𝑆)
33	26, 32	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	25	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝜑)
36	23	eldifad 3231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	31	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
38		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐵 ∈ 𝑆
39	21	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆
40		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
41	40	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
42	38, 39, 41	cbvral 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
43	37, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
44	43	r19.21bi 2638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
45	35, 36, 44	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
46	34, 45	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
47	21, 22, 23, 24, 33, 46, 40	fprodunsn 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
50	49	prodeq1d 12309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
51		prod0 12330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
52	50, 51	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = 1)
53	52	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (1 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
54	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
55	54	mullidd 8334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (1 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
56	53, 55	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
58	56, 57	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆)
59	48, 58	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)
60	59	olcd 746	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
61	60	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 = ∅ → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
63		fprodcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
64	63	ralrimivva 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
65		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑦))
66	65	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑆))
67		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
68	67	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆))
69	66, 68	cbvral2v 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
70	64, 69	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
71	70	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
72		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆)
73	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
74		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣))
75	74	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) ∈ 𝑆))
76		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
77	76	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
78	75, 77	rspc2v 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
79	72, 73, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
80	71, 79	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆)
81	62, 80	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)
82	81	olcd 746	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
83	82	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
84	61, 83	jaod 729	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
85		fprodcllem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
86	6, 10, 14, 18, 20, 84, 85	findcard2sd 7186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
87	86	orcomd 741	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∨ 𝐴 = ∅))
88	2, 87	ecased 1390	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ⦋csb 3147   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3705  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  ℂcc 8167  1c1 8170   · cmul 8174  ∏cprod 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-proddc 12296

This theorem is referenced by:  fprodcllem  12351