Theorem fprodcl2lem 11835

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fprodcl2lem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2	1	neneqd 2396	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
3		eqeq1 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 = ∅ ↔ ∅ = ∅))
4		prodeq1 11783	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
5	4	eleq1d 2273	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆))
6	3, 5	orbi12d 794	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (∅ = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆)))
7		eqeq1 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
8		prodeq1 11783	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
9	8	eleq1d 2273	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆))
10	7, 9	orbi12d 794	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆)))
11		eqeq1 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤 = ∅ ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅))
12		prodeq1 11783	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
13	12	eleq1d 2273	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
14	11, 13	orbi12d 794	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
15		eqeq1 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
16		prodeq1 11783	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	eleq1d 2273	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
18	15, 17	orbi12d 794	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)))
19		eqidd 2205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ = ∅)
20	19	orcd 734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆))
21		nfcsb1v 3125	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
22		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
23		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
24	23	eldifbd 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
27		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
28		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
30	28, 29	sseldd 3193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
31		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ 𝑆)
33	26, 32	sseldd 3193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝜑)
36	23	eldifad 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	31	ralrimiva 2578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
38		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐵 ∈ 𝑆
39	21	nfel1 2358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆
40		csbeq1a 3101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
41	40	eleq1d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
42	38, 39, 41	cbvral 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
43	37, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
44	43	r19.21bi 2593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
45	35, 36, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
46	34, 45	sseldd 3193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
47	21, 22, 23, 24, 33, 46, 40	fprodunsn 11834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
50	49	prodeq1d 11794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
51		prod0 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
52	50, 51	eqtrdi 2253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = 1)
53	52	oveq1d 5949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (1 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
54	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
55	54	mulid2d 8073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (1 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
56	53, 55	eqtrd 2237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
58	56, 57	eqeltrd 2281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆)
59	48, 58	eqeltrd 2281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)
60	59	olcd 735	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
61	60	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 = ∅ → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
63		fprodcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
64	63	ralrimivva 2587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
65		oveq1 5941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑦))
66	65	eleq1d 2273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑆))
67		oveq2 5942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
68	67	eleq1d 2273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆))
69	66, 68	cbvral2v 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
70	64, 69	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
71	70	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
72		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆)
73	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
74		oveq1 5941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣))
75	74	eleq1d 2273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) ∈ 𝑆))
76		oveq2 5942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
77	76	eleq1d 2273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
78	75, 77	rspc2v 2889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
79	72, 73, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
80	71, 79	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆)
81	62, 80	eqeltrd 2281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)
82	81	olcd 735	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
83	82	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
84	61, 83	jaod 718	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
85		fprodcllem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
86	6, 10, 14, 18, 20, 84, 85	findcard2sd 6971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
87	86	orcomd 730	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∨ 𝐴 = ∅))
88	2, 87	ecased 1361	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ∀wral 2483  ⦋csb 3092   ∖ cdif 3162   ∪ cun 3163   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  {csn 3632  (class class class)co 5934  Fincfn 6817  ℂcc 7905  1c1 7908   · cmul 7912  ∏cprod 11780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-frec 6467  df-1o 6492  df-oadd 6496  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-ihash 10902  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-clim 11509  df-proddc 11781

This theorem is referenced by:  fprodcllem  11836