ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodcl2lem GIF version

Theorem fprodcl2lem 11597
Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcllem.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllem.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcllem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fprodcl2lem.5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fprodcl2lem (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcl2lem
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodcl2lem.5 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
21neneqd 2368 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
3 eqeq1 2184 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (𝑤 = ∅ ↔ ∅ = ∅))
4 prodeq1 11545 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
54eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (∏𝑘𝑤 𝐵𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑆))
63, 5orbi12d 793 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘𝑤 𝐵𝑆) ↔ (∅ = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑆)))
7 eqeq1 2184 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
8 prodeq1 11545 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
98eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘𝑤 𝐵𝑆 ↔ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆))
107, 9orbi12d 793 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘𝑤 𝐵𝑆) ↔ (𝑦 = ∅ ∨ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆)))
11 eqeq1 2184 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤 = ∅ ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅))
12 prodeq1 11545 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1312eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑤 𝐵𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆))
1411, 13orbi12d 793 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘𝑤 𝐵𝑆) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆)))
15 eqeq1 2184 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
16 prodeq1 11545 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1716eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘𝑤 𝐵𝑆 ↔ ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
1815, 17orbi12d 793 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘𝑤 𝐵𝑆) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)))
19 eqidd 2178 . . . . 5 (𝜑 → ∅ = ∅)
2019orcd 733 . . . 4 (𝜑 → (∅ = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑆))
21 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
22 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
23 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2423eldifbd 3141 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
25 fprodcllem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2625ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
27 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
28 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
3028, 29sseldd 3156 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
31 fprodcllem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
3227, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵𝑆)
3326, 32sseldd 3156 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
3425ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35 simpll 527 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝜑)
3623eldifad 3140 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
3731ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
38 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 𝐵𝑆
3921nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵𝑆
40 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4140eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵𝑆𝑧 / 𝑘𝐵𝑆))
4238, 39, 41cbvral 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐵𝑆)
4337, 42sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑘𝐵𝑆)
4443r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵𝑆)
4535, 36, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵𝑆)
4634, 45sseldd 3156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4721, 22, 23, 24, 33, 46, 40fprodunsn 11596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
49 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
5049prodeq1d 11556 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
51 prod0 11577 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
5250, 51eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘𝑦 𝐵 = 1)
5352oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) = (1 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
5446adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5554mulid2d 7966 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (1 · 𝑧 / 𝑘𝐵) = 𝑧 / 𝑘𝐵)
5653, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) = 𝑧 / 𝑘𝐵)
5745adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑧 / 𝑘𝐵𝑆)
5856, 57eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ 𝑆)
5948, 58eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆)
6059olcd 734 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆))
6160ex 115 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 = ∅ → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆)))
6247adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
63 fprodcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6463ralrimivva 2559 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
65 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑦))
6665eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑆))
67 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
6867eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆))
6966, 68cbvral2v 2716 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑢𝑆𝑣𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
7064, 69sylib 122 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑢𝑆𝑣𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
7170ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → ∀𝑢𝑆𝑣𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
72 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆)
7345adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → 𝑧 / 𝑘𝐵𝑆)
74 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ∏𝑘𝑦 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑣))
7574eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = ∏𝑘𝑦 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑣) ∈ 𝑆))
76 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑧 / 𝑘𝐵 → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑣) = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
7776eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑧 / 𝑘𝐵 → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ 𝑆))
7875, 77rspc2v 2854 . . . . . . . . . 10 ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑆𝑧 / 𝑘𝐵𝑆) → (∀𝑢𝑆𝑣𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ 𝑆))
7972, 73, 78syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → (∀𝑢𝑆𝑣𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ 𝑆))
8071, 79mpd 13 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ 𝑆)
8162, 80eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆)
8281olcd 734 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆))
8382ex 115 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵𝑆 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆)))
8461, 83jaod 717 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∏𝑘𝑦 𝐵𝑆) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑆)))
85 fprodcllem.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
866, 10, 14, 18, 20, 84, 85findcard2sd 6886 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
8786orcomd 729 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐵𝑆𝐴 = ∅))
882, 87ecased 1349 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  csb 3057  cdif 3126  cun 3127  wss 3129  c0 3422  {csn 3591  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  cc 7800  1c1 7803   · cmul 7807  cprod 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543
This theorem is referenced by:  fprodcllem  11598
  Copyright terms: Public domain W3C validator