Theorem fprodcl2lem 11597

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fprodcl2lem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2	1	neneqd 2368	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
3		eqeq1 2184	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 = ∅ ↔ ∅ = ∅))
4		prodeq1 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
5	4	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆))
6	3, 5	orbi12d 793	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (∅ = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆)))
7		eqeq1 2184	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
8		prodeq1 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
9	8	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆))
10	7, 9	orbi12d 793	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆)))
11		eqeq1 2184	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤 = ∅ ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅))
12		prodeq1 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
13	12	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
14	11, 13	orbi12d 793	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
15		eqeq1 2184	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
16		prodeq1 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
18	15, 17	orbi12d 793	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)))
19		eqidd 2178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ = ∅)
20	19	orcd 733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ 𝑆))
21		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
22		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
23		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
24	23	eldifbd 3141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
27		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
28		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
30	28, 29	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
31		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ 𝑆)
33	26, 32	sseldd 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝜑)
36	23	eldifad 3140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	31	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
38		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐵 ∈ 𝑆
39	21	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆
40		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
41	40	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
42	38, 39, 41	cbvral 2699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
43	37, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
44	43	r19.21bi 2565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
45	35, 36, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
46	34, 45	sseldd 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
47	21, 22, 23, 24, 33, 46, 40	fprodunsn 11596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
50	49	prodeq1d 11556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
51		prod0 11577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
52	50, 51	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = 1)
53	52	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (1 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
54	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
55	54	mulid2d 7966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (1 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
56	53, 55	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
58	56, 57	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆)
59	48, 58	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)
60	59	olcd 734	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
61	60	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 = ∅ → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
63		fprodcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
64	63	ralrimivva 2559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
65		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑦))
66	65	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑆))
67		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
68	67	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆))
69	66, 68	cbvral2v 2716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
70	64, 69	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
71	70	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆)
72		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆)
73	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
74		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣))
75	74	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) ∈ 𝑆))
76		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
77	76	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
78	75, 77	rspc2v 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
79	72, 73, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝑆 → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆))
80	71, 79	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ 𝑆)
81	62, 80	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)
82	81	olcd 734	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆))
83	82	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
84	61, 83	jaod 717	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ 𝑆)))
85		fprodcllem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
86	6, 10, 14, 18, 20, 84, 85	findcard2sd 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
87	86	orcomd 729	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∨ 𝐴 = ∅))
88	2, 87	ecased 1349	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ⦋csb 3057   ∖ cdif 3126   ∪ cun 3127   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  {csn 3591  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  ℂcc 7800  1c1 7803   · cmul 7807  ∏cprod 11542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543

This theorem is referenced by:  fprodcllem  11598