Theorem elima 4951

Description: Membership in an image. Theorem 34 of [Suppes] p. 65. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
elima.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elima	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem elima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elimag 4950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 “ 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑥𝐵𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445  Vcvv 2726   class class class wbr 3982   “ cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  elima2  4952  rninxp  5047  imaco  5109  isarep1  5274  funimass4  5537