ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funimass4 GIF version

Theorem funimass4 5479
Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3090 . 2 ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵))
2 eqcom 2142 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑦)
3 ssel 3095 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ dom 𝐹))
4 funbrfvb 5471 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
54ex 114 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦)))
63, 5syl9 72 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))))
76imp31 254 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
82, 7syl5bb 191 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ 𝑥𝐹𝑦))
98rexbidva 2435 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦))
10 vex 2692 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1110elima 4893 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦)
129, 11syl6rbbr 198 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥)))
1312imbi1d 230 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
14 r19.23v 2544 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵))
1513, 14syl6bbr 197 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
1615albidv 1797 . . . 4 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
1716ancoms 266 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
18 ralcom4 2711 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵))
19 ssel2 3096 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
2019anim2i 340 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ⊆ dom 𝐹𝑥𝐴)) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
21203impb 1178 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹𝑥𝐴) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
22 funfvex 5445 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
23 nfv 1509 . . . . . . . 8 𝑦(𝐹𝑥) ∈ 𝐵
24 eleq1 2203 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦𝐵 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2523, 24ceqsalg 2717 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2621, 22, 253syl 17 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹𝑥𝐴) → (∀𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
27263expa 1182 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2827ralbidva 2434 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2918, 28bitr3id 193 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
3017, 29bitrd 187 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
311, 30syl5bb 191 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wal 1330   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  Vcvv 2689  wss 3075   class class class wbr 3936  dom cdm 4546  cima 4549  Fun wfun 5124  cfv 5130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-fv 5138
This theorem is referenced by:  funimass3  5543  funimass5  5544  funconstss  5545  funimassov  5927  phimullem  11935  txcnp  12477  metcnp  12718
  Copyright terms: Public domain W3C validator