ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enqbreq GIF version

Theorem enqbreq 7368
Description: Equivalence relation for positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
enqbreq (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ~Q โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โ†” (๐ด ยทN ๐ท) = (๐ต ยทN ๐ถ)))

Proof of Theorem enqbreq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq 7359 . 2 ~Q = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))}
21ecopoveq 6643 1 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ~Q โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โ†” (๐ด ยทN ๐ท) = (๐ต ยทN ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  Ncnpi 7284   ยทN cmi 7286   ~Q ceq 7291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-enq 7359
This theorem is referenced by:  enqbreq2  7369  enqeceq  7371  enqdc  7373  addcmpblnq  7379  mulcmpblnq  7380  mulcanenq  7397
  Copyright terms: Public domain W3C validator