Theorem mulcanenq 7326

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanenq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem mulcanenq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 987	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		simp2 988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
3		simp3 989	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐶 ∈ N)
4		mulcompig 7272	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
6		mulasspig 7273	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
7	6	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
8	1, 2, 3, 5, 7	caov32d 6022	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵))
9		mulclpi 7269	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
10		mulclpi 7269	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
11	9, 10	anim12i 336	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N))
12		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
13	12	an4s 578	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
14	11, 13	jca 304	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)))
15	14	3impdi 1283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)))
16		enqbreq 7297	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
17	15, 16	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
18	8, 17	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  Ncnpi 7213   ·_N cmi 7215   ~_Q ceq 7220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-ni 7245  df-mi 7247  df-enq 7288

This theorem is referenced by:  mulcanenqec  7327