Theorem mulcanenq 7445

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanenq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem mulcanenq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
3		simp3 1001	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐶 ∈ N)
4		mulcompig 7391	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
6		mulasspig 7392	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
7	6	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
8	1, 2, 3, 5, 7	caov32d 6099	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵))
9		mulclpi 7388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
10		mulclpi 7388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
11	9, 10	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N))
12		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
13	12	an4s 588	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
14	11, 13	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)))
15	14	3impdi 1304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)))
16		enqbreq 7416	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
17	15, 16	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
18	8, 17	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  Ncnpi 7332   ·_N cmi 7334   ~_Q ceq 7339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-ni 7364  df-mi 7366  df-enq 7407

This theorem is referenced by:  mulcanenqec  7446