Theorem mulcanenq 7648

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanenq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem mulcanenq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		simp2 1025	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
3		simp3 1026	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐶 ∈ N)
4		mulcompig 7594	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
6		mulasspig 7595	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
7	6	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
8	1, 2, 3, 5, 7	caov32d 6213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵))
9		mulclpi 7591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
10		mulclpi 7591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
11	9, 10	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N))
12		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
13	12	an4s 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
14	11, 13	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)))
15	14	3impdi 1330	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)))
16		enqbreq 7619	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
17	15, 16	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
18	8, 17	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  Ncnpi 7535   ·_N cmi 7537   ~_Q ceq 7542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-ni 7567  df-mi 7569  df-enq 7610

This theorem is referenced by:  mulcanenqec  7649