ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq GIF version

Theorem mulcmpblnq 7367
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (((๐ด ยทN ๐ท) = (๐ต ยทN ๐ถ) โˆง (๐น ยทN ๐‘†) = (๐บ ยทN ๐‘…)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐น), (๐ต ยทN ๐บ)โŸฉ ~Q โŸจ(๐ถ ยทN ๐‘…), (๐ท ยทN ๐‘†)โŸฉ))

Proof of Theorem mulcmpblnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5884 . 2 (((๐ด ยทN ๐ท) = (๐ต ยทN ๐ถ) โˆง (๐น ยทN ๐‘†) = (๐บ ยทN ๐‘…)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ท) ยทN (๐น ยทN ๐‘†)) = ((๐ต ยทN ๐ถ) ยทN (๐บ ยทN ๐‘…)))
2 mulclpi 7327 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐น โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐น) โˆˆ N)
3 mulclpi 7327 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โ†’ (๐ต ยทN ๐บ) โˆˆ N)
42, 3anim12i 338 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐น โˆˆ N) โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐น) โˆˆ N โˆง (๐ต ยทN ๐บ) โˆˆ N))
54an4s 588 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐น) โˆˆ N โˆง (๐ต ยทN ๐บ) โˆˆ N))
6 mulclpi 7327 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐‘… โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐‘…) โˆˆ N)
7 mulclpi 7327 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N) โ†’ (๐ท ยทN ๐‘†) โˆˆ N)
86, 7anim12i 338 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐‘… โˆˆ N) โˆง (๐ท โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐‘…) โˆˆ N โˆง (๐ท ยทN ๐‘†) โˆˆ N))
98an4s 588 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐‘…) โˆˆ N โˆง (๐ท ยทN ๐‘†) โˆˆ N))
105, 9anim12i 338 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N)) โˆง ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (((๐ด ยทN ๐น) โˆˆ N โˆง (๐ต ยทN ๐บ) โˆˆ N) โˆง ((๐ถ ยทN ๐‘…) โˆˆ N โˆง (๐ท ยทN ๐‘†) โˆˆ N)))
1110an4s 588 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (((๐ด ยทN ๐น) โˆˆ N โˆง (๐ต ยทN ๐บ) โˆˆ N) โˆง ((๐ถ ยทN ๐‘…) โˆˆ N โˆง (๐ท ยทN ๐‘†) โˆˆ N)))
12 enqbreq 7355 . . . 4 ((((๐ด ยทN ๐น) โˆˆ N โˆง (๐ต ยทN ๐บ) โˆˆ N) โˆง ((๐ถ ยทN ๐‘…) โˆˆ N โˆง (๐ท ยทN ๐‘†) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐น), (๐ต ยทN ๐บ)โŸฉ ~Q โŸจ(๐ถ ยทN ๐‘…), (๐ท ยทN ๐‘†)โŸฉ โ†” ((๐ด ยทN ๐น) ยทN (๐ท ยทN ๐‘†)) = ((๐ต ยทN ๐บ) ยทN (๐ถ ยทN ๐‘…))))
1311, 12syl 14 . . 3 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐น), (๐ต ยทN ๐บ)โŸฉ ~Q โŸจ(๐ถ ยทN ๐‘…), (๐ท ยทN ๐‘†)โŸฉ โ†” ((๐ด ยทN ๐น) ยทN (๐ท ยทN ๐‘†)) = ((๐ต ยทN ๐บ) ยทN (๐ถ ยทN ๐‘…))))
14 simplll 533 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ๐ด โˆˆ N)
15 simprll 537 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ๐น โˆˆ N)
16 simplrr 536 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ๐ท โˆˆ N)
17 mulcompig 7330 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ))
1817adantl 277 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ))
19 mulasspig 7331 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
2019adantl 277 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
21 simprrr 540 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ๐‘† โˆˆ N)
22 mulclpi 7327 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
2322adantl 277 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
2414, 15, 16, 18, 20, 21, 23caov4d 6059 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ((๐ด ยทN ๐น) ยทN (๐ท ยทN ๐‘†)) = ((๐ด ยทN ๐ท) ยทN (๐น ยทN ๐‘†)))
25 simpllr 534 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ๐ต โˆˆ N)
26 simprlr 538 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ๐บ โˆˆ N)
27 simplrl 535 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ๐ถ โˆˆ N)
28 simprrl 539 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ๐‘… โˆˆ N)
2925, 26, 27, 18, 20, 28, 23caov4d 6059 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ ((๐ต ยทN ๐บ) ยทN (๐ถ ยทN ๐‘…)) = ((๐ต ยทN ๐ถ) ยทN (๐บ ยทN ๐‘…)))
3024, 29eqeq12d 2192 . . 3 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (((๐ด ยทN ๐น) ยทN (๐ท ยทN ๐‘†)) = ((๐ต ยทN ๐บ) ยทN (๐ถ ยทN ๐‘…)) โ†” ((๐ด ยทN ๐ท) ยทN (๐น ยทN ๐‘†)) = ((๐ต ยทN ๐ถ) ยทN (๐บ ยทN ๐‘…))))
3113, 30bitrd 188 . 2 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐น), (๐ต ยทN ๐บ)โŸฉ ~Q โŸจ(๐ถ ยทN ๐‘…), (๐ท ยทN ๐‘†)โŸฉ โ†” ((๐ด ยทN ๐ท) ยทN (๐น ยทN ๐‘†)) = ((๐ต ยทN ๐ถ) ยทN (๐บ ยทN ๐‘…))))
321, 31imbitrrid 156 1 ((((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ N โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ N โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (((๐ด ยทN ๐ท) = (๐ต ยทN ๐ถ) โˆง (๐น ยทN ๐‘†) = (๐บ ยทN ๐‘…)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐น), (๐ต ยทN ๐บ)โŸฉ ~Q โŸจ(๐ถ ยทN ๐‘…), (๐ท ยทN ๐‘†)โŸฉ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3596   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  Ncnpi 7271   ยทN cmi 7273   ~Q ceq 7278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq 7346
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  7372
  Copyright terms: Public domain W3C validator