Theorem mulcmpblnq 7452

Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq	⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5934	. 2 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
2		mulclpi 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐹) ∈ N)
3		mulclpi 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
4	2, 3	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
5	4	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
6		mulclpi 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝑅) ∈ N)
7		mulclpi 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
8	6, 7	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
9	8	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
10	5, 9	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
11	10	an4s 588	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
12		enqbreq 7440	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
14		simplll 533	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
15		simprll 537	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ N)
16		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
17		mulcompig 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
19		mulasspig 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
20	19	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21		simprrr 540	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
22		mulclpi 7412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
23	22	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
24	14, 15, 16, 18, 20, 21, 23	caov4d 6112	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
25		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
26		simprlr 538	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
27		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
28		simprrl 539	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ N)
29	25, 26, 27, 18, 20, 28, 23	caov4d 6112	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
30	24, 29	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
31	13, 30	bitrd 188	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
32	1, 31	imbitrrid 156	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  Ncnpi 7356   ·_N cmi 7358   ~_Q ceq 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-ni 7388  df-mi 7390  df-enq 7431

This theorem is referenced by:  mulpipqqs  7457