ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enqeceq GIF version

Theorem enqeceq 7191
Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 29-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
enqeceq (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem enqeceq
StepHypRef Expression
1 enqer 7190 . . . 4 ~Q Er (N × N)
21a1i 9 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → ~Q Er (N × N))
3 opelxpi 4579 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
43adantr 274 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
52, 4erth 6481 . 2 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q𝐶, 𝐷⟩ ↔ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ))
6 enqbreq 7188 . 2 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶)))
75, 6bitr3d 189 1 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  cop 3535   class class class wbr 3937   × cxp 4545  (class class class)co 5782   Er wer 6434  [cec 6435  Ncnpi 7104   ·N cmi 7106   ~Q ceq 7111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-ni 7136  df-mi 7138  df-enq 7179
This theorem is referenced by:  ordpipqqs  7206  nqtri3or  7228
  Copyright terms: Public domain W3C validator