Theorem addcmpblnq 7728

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq	⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrpig 7694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
3		simplll 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
4		simprlr 544	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
5		mulclpi 7689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
7		simpllr 540	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
8		simprll 543	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ N)
9		mulclpi 7689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
11		mulclpi 7689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
12	11	ad2ant2l 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
13	12	ad2ant2l 512	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
14		addclpi 7688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
16		mulcompig 7692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
18	2, 6, 10, 13, 15, 17	caovdir2d 6260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))))
19		simplrr 542	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
20		mulasspig 7693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
22		simprrr 546	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
23		mulclpi 7689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
25	3, 4, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 6268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
26	7, 8, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 6268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
27	25, 26	oveq12d 6097	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
28	18, 27	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
29		oveq1 6086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
30		oveq2 6087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅) → ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
31	29, 30	oveqan12d 6098	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
32	28, 31	sylan9eq 2291	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
33		mulclpi 7689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
34	7, 4, 33	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
35		simplrl 541	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
36		mulclpi 7689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
37	35, 22, 36	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
38		simprrl 545	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ N)
39		mulclpi 7689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
40	19, 38, 39	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
41		distrpig 7694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
42	34, 37, 40, 41	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
43	7, 4, 35, 17, 21, 22, 24	caov4d 6268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
44	7, 4, 19, 17, 21, 38, 24	caov4d 6268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
45	43, 44	oveq12d 6097	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
46	42, 45	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
47	46	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
48	32, 47	eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))))
49		addclpi 7688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
50	5, 9, 49	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
51	50	an42s 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
52	33	ad2ant2l 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
53	51, 52	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
54		addclpi 7688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
55	36, 39, 54	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
56	55	an42s 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
57	56, 12	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
58	53, 57	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
59	58	an4s 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
60		enqbreq 7717	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
61	59, 60	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
62	61	adantr 276	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
63	48, 62	mpbird 167	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩)
64	63	ex 115	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  Ncnpi 7633   +_N cpli 7634   ·_N cmi 7635   ~_Q ceq 7640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-enq 7708

This theorem is referenced by:  addpipqqs  7731