Theorem addcmpblnq 7380

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq	⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrpig 7346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
3		simplll 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
4		simprlr 538	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
5		mulclpi 7341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
7		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
8		simprll 537	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ N)
9		mulclpi 7341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
11		mulclpi 7341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
12	11	ad2ant2l 508	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
13	12	ad2ant2l 508	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
14		addclpi 7340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
16		mulcompig 7344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
18	2, 6, 10, 13, 15, 17	caovdir2d 6065	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))))
19		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
20		mulasspig 7345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
22		simprrr 540	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
23		mulclpi 7341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
25	3, 4, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 6073	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
26	7, 8, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 6073	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
27	25, 26	oveq12d 5906	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
28	18, 27	eqtrd 2220	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
29		oveq1 5895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
30		oveq2 5896	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅) → ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
31	29, 30	oveqan12d 5907	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
32	28, 31	sylan9eq 2240	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
33		mulclpi 7341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
34	7, 4, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
35		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
36		mulclpi 7341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
37	35, 22, 36	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
38		simprrl 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ N)
39		mulclpi 7341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
40	19, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
41		distrpig 7346	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
42	34, 37, 40, 41	syl3anc 1248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
43	7, 4, 35, 17, 21, 22, 24	caov4d 6073	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
44	7, 4, 19, 17, 21, 38, 24	caov4d 6073	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
45	43, 44	oveq12d 5906	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
46	42, 45	eqtrd 2220	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
47	46	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
48	32, 47	eqtr4d 2223	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))))
49		addclpi 7340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
50	5, 9, 49	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
51	50	an42s 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
52	33	ad2ant2l 508	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
53	51, 52	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
54		addclpi 7340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
55	36, 39, 54	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
56	55	an42s 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
57	56, 12	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
58	53, 57	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
59	58	an4s 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
60		enqbreq 7369	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
61	59, 60	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
62	61	adantr 276	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
63	48, 62	mpbird 167	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩)
64	63	ex 115	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ⟨cop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  Ncnpi 7285   +_N cpli 7286   ·_N cmi 7287   ~_Q ceq 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-enq 7360

This theorem is referenced by:  addpipqqs  7383