ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfmpq2 GIF version

Theorem dfmpq2 7354
Description: Alternate definition of pre-multiplication on positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfmpq2 ยทpQ = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ))}
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“

Proof of Theorem dfmpq2
StepHypRef Expression
1 df-mpo 5880 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N), ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ) = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง ๐‘ง = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)}
2 df-mpq 7344 . 2 ยทpQ = (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N), ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
3 1st2nd2 6176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
43eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ))
5 1st2nd2 6176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
65eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ))
74, 6bi2anan9 606 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โ†” (โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ)))
87anbi1d 465 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ) โ†” ((โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ)))
98bicomd 141 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ) โ†” ((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ)))
1094exbidv 1870 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ)))
11 xp1st 6166 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
12 xp2nd 6167 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
1311, 12jca 306 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N))
14 xp1st 6166 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N)
15 xp2nd 6167 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N)
1614, 15jca 306 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N))
17 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ))
18 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ))
1917, 18oveq12d 5893 . . . . . . . . 9 (((๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)))
20 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ))
21 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))
2220, 21oveq12d 5893 . . . . . . . . 9 (((๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
2319, 22opeq12d 3787 . . . . . . . 8 (((๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
2423eqeq2d 2189 . . . . . . 7 (((๐‘ค = (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฃ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ โ†” ๐‘ง = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ))
2524copsex4g 4248 . . . . . 6 ((((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N)) โ†’ (โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ) โ†” ๐‘ง = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ))
2613, 16, 25syl2an 289 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ) โ†” ๐‘ง = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ))
2710, 26bitr3d 190 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ) โ†” ๐‘ง = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ))
2827pm5.32i 454 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง ๐‘ง = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ))
2928oprabbii 5930 . 2 {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ))} = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง ๐‘ง = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)}
301, 2, 293eqtr4i 2208 1 ยทpQ = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ))}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3596   ร— cxp 4625  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  {coprab 5876   โˆˆ cmpo 5877  1st c1st 6139  2nd c2nd 6140  Ncnpi 7271   ยทN cmi 7273   ยทpQ cmpq 7276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-mpq 7344
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  7372
  Copyright terms: Public domain W3C validator