ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enqdc GIF version

Theorem enqdc 7181
Description: The equivalence relation for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
enqdc (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → DECID𝐴, 𝐵⟩ ~Q𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem enqdc
StepHypRef Expression
1 mulclpi 7148 . . . 4 ((𝐴N𝐷N) → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ N)
2 mulclpi 7148 . . . 4 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
3 pinn 7129 . . . . 5 ((𝐴 ·N 𝐷) ∈ N → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ ω)
4 pinn 7129 . . . . 5 ((𝐵 ·N 𝐶) ∈ N → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ ω)
5 nndceq 6395 . . . . 5 (((𝐴 ·N 𝐷) ∈ ω ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ ω) → DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶))
63, 4, 5syl2an 287 . . . 4 (((𝐴 ·N 𝐷) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N) → DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶))
71, 2, 6syl2an 287 . . 3 (((𝐴N𝐷N) ∧ (𝐵N𝐶N)) → DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶))
87an42s 578 . 2 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶))
9 enqbreq 7176 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶)))
109dcbid 823 . 2 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → (DECID𝐴, 𝐵⟩ ~Q𝐶, 𝐷⟩ ↔ DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶)))
118, 10mpbird 166 1 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → DECID𝐴, 𝐵⟩ ~Q𝐶, 𝐷⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929  ωcom 4504  (class class class)co 5774  Ncnpi 7092   ·N cmi 7094   ~Q ceq 7099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-ni 7124  df-mi 7126  df-enq 7167
This theorem is referenced by:  enqdc1  7182
  Copyright terms: Public domain W3C validator