Theorem funeqd 5402

Description: Equality deduction for the function predicate. (Contributed by NM, 23-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
funeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
funeqd	⊢ (𝜑 → (Fun 𝐴 ↔ Fun 𝐵))

Proof of Theorem funeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		funeq 5400	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Fun 𝐴 ↔ Fun 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐴 ↔ Fun 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  Fun wfun 5374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-in 3226  df-ss 3233  df-br 4132  df-opab 4194  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-fun 5382

This theorem is used by:  funopg  5414  funsng  5430  funcnvuni  5453  f1eq1  5596  f1ssf1  5674  funopsn  5894  frecuzrdgtclt  10878  fundm2domnop0  11321  shftfn  11610  ennnfonelemfun  13365  ennnfonelemf1  13366  isstruct2im  13419  isstruct2r  13420  structfung  13426  setsfun  13444  setsfun0  13445  strslfv3  13455  uhgrspansubgrlem  16739  p1evtxdeqfilem  16774  istrl  16848  trlsegvdeglem2  16924  trlsegvdeglem3  16925  funmptd  17053