Theorem funeqd 5399

Description: Equality deduction for the function predicate. (Contributed by NM, 23-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
funeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
funeqd	⊢ (𝜑 → (Fun 𝐴 ↔ Fun 𝐵))

Proof of Theorem funeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		funeq 5397	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Fun 𝐴 ↔ Fun 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐴 ↔ Fun 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  Fun wfun 5371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-in 3226  df-ss 3233  df-br 4131  df-opab 4193  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-fun 5379

This theorem is used by:  funopg  5411  funsng  5427  funcnvuni  5450  f1eq1  5593  f1ssf1  5671  funopsn  5891  frecuzrdgtclt  10873  fundm2domnop0  11316  shftfn  11605  ennnfonelemfun  13360  ennnfonelemf1  13361  isstruct2im  13414  isstruct2r  13415  structfung  13421  setsfun  13439  setsfun0  13440  strslfv3  13450  uhgrspansubgrlem  16683  p1evtxdeqfilem  16718  istrl  16792  trlsegvdeglem2  16868  trlsegvdeglem3  16869  funmptd  16997