Theorem ennnfonelemfun 13118

Description: Lemma for ennnfone 13126. 𝐿 is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemfun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐿)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑗   𝑘,𝐹,𝑛,𝑗   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻   𝑗,𝐻,𝑥,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemfun

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 13105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶(𝐴 ↑pm ω))
9	8	frnd 5499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝐴 ↑pm ω))
10	9	sselda 3228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → 𝑠 ∈ (𝐴 ↑pm ω))
11		pmfun 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ↑pm ω) → Fun 𝑠)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → Fun 𝑠)
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
14	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
15	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
16		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝑠 ∈ ran 𝐻)
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝑡 ∈ ran 𝐻)
18	13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 16, 17	ennnfonelemrnh 13117	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → (𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠))
19	18	ralrimiva 2606	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠))
20	12, 19	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → (Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)))
21	20	ralrimiva 2606	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ran 𝐻(Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)))
22		fununi 5405	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ ran 𝐻(Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)) → Fun ∪ ran 𝐻)
23	21, 22	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ∪ ran 𝐻)
24		ennnfone.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
25	8	ffnd 5490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ0)
26		fniunfv 5913	. . . . 5 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ ran 𝐻)
27	25, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ ran 𝐻)
28	24, 27	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ∪ ran 𝐻)
29	28	funeqd 5355	. 2 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐿 ↔ Fun ∪ ran 𝐻))
30	23, 29	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ∪ cun 3199   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  ifcif 3607  {csn 3673  ⟨cop 3676  ∪ cuni 3898  ∪ ciun 3975   ↦ cmpt 4155  suc csuc 4468  ωcom 4694  ^◡ccnv 4730  dom cdm 4731  ran crn 4732   “ cima 4734  Fun wfun 5327   Fn wfn 5328  –onto→wfo 5331  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030  freccfrec 6599   ↑_pm cpm 6861  0cc0 8092  1c1 8093   + caddc 8095   − cmin 8409  ℕ₀cn0 9461  ℤcz 9540  seqcseq 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pm 6863  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-seqfrec 10773

This theorem is referenced by:  ennnfonelemf1  13119