Theorem ennnfonelemfun 12988

Description: Lemma for ennnfone 12996. 𝐿 is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemfun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐿)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑗   𝑘,𝐹,𝑛,𝑗   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻   𝑗,𝐻,𝑥,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemfun

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶(𝐴 ↑pm ω))
9	8	frnd 5483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝐴 ↑pm ω))
10	9	sselda 3224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → 𝑠 ∈ (𝐴 ↑pm ω))
11		pmfun 6815	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ↑pm ω) → Fun 𝑠)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → Fun 𝑠)
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
14	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
15	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
16		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝑠 ∈ ran 𝐻)
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝑡 ∈ ran 𝐻)
18	13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 16, 17	ennnfonelemrnh 12987	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → (𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠))
19	18	ralrimiva 2603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠))
20	12, 19	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → (Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)))
21	20	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ran 𝐻(Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)))
22		fununi 5389	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ ran 𝐻(Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)) → Fun ∪ ran 𝐻)
23	21, 22	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ∪ ran 𝐻)
24		ennnfone.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
25	8	ffnd 5474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ0)
26		fniunfv 5886	. . . . 5 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ ran 𝐻)
27	25, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ ran 𝐻)
28	24, 27	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ∪ ran 𝐻)
29	28	funeqd 5340	. 2 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐿 ↔ Fun ∪ ran 𝐻))
30	23, 29	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666  ⟨cop 3669  ∪ cuni 3888  ∪ ciun 3965   ↦ cmpt 4145  suc csuc 4456  ωcom 4682  ^◡ccnv 4718  dom cdm 4719  ran crn 4720   “ cima 4722  Fun wfun 5312   Fn wfn 5313  –onto→wfo 5316  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001   ∈ cmpo 6003  freccfrec 6536   ↑_pm cpm 6796  0cc0 7999  1c1 8000   + caddc 8002   − cmin 8317  ℕ₀cn0 9369  ℤcz 9446  seqcseq 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pm 6798  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670

This theorem is referenced by:  ennnfonelemf1  12989