Theorem ennnfonelemfun 12788

Description: Lemma for ennnfone 12796. 𝐿 is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemfun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐿)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑗   𝑘,𝐹,𝑛,𝑗   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻   𝑗,𝐻,𝑥,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemfun

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶(𝐴 ↑pm ω))
9	8	frnd 5435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝐴 ↑pm ω))
10	9	sselda 3193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → 𝑠 ∈ (𝐴 ↑pm ω))
11		pmfun 6755	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ↑pm ω) → Fun 𝑠)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → Fun 𝑠)
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
14	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
15	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
16		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝑠 ∈ ran 𝐻)
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝑡 ∈ ran 𝐻)
18	13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 16, 17	ennnfonelemrnh 12787	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → (𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠))
19	18	ralrimiva 2579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠))
20	12, 19	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → (Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)))
21	20	ralrimiva 2579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ran 𝐻(Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)))
22		fununi 5342	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ ran 𝐻(Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)) → Fun ∪ ran 𝐻)
23	21, 22	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ∪ ran 𝐻)
24		ennnfone.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
25	8	ffnd 5426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ0)
26		fniunfv 5831	. . . . 5 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ ran 𝐻)
27	25, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ ran 𝐻)
28	24, 27	eqtrid 2250	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ∪ ran 𝐻)
29	28	funeqd 5293	. 2 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐿 ↔ Fun ∪ ran 𝐻))
30	23, 29	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ∀wral 2484  ∃wrex 2485   ∪ cun 3164   ⊆ wss 3166  ∅c0 3460  ifcif 3571  {csn 3633  ⟨cop 3636  ∪ cuni 3850  ∪ ciun 3927   ↦ cmpt 4105  suc csuc 4412  ωcom 4638  ^◡ccnv 4674  dom cdm 4675  ran crn 4676   “ cima 4678  Fun wfun 5265   Fn wfn 5266  –onto→wfo 5269  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944   ∈ cmpo 5946  freccfrec 6476   ↑_pm cpm 6736  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   − cmin 8243  ℕ₀cn0 9295  ℤcz 9372  seqcseq 10592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pm 6738  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593

This theorem is referenced by:  ennnfonelemf1  12789