Theorem ennnfonelemfun 12574

Description: Lemma for ennnfone 12582. 𝐿 is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemfun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐿)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑗   𝑘,𝐹,𝑛,𝑗   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻   𝑗,𝐻,𝑥,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemfun

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ0⟶(𝐴 ↑pm ω))
9	8	frnd 5413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝐴 ↑pm ω))
10	9	sselda 3179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → 𝑠 ∈ (𝐴 ↑pm ω))
11		pmfun 6722	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ↑pm ω) → Fun 𝑠)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → Fun 𝑠)
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
14	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
15	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
16		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝑠 ∈ ran 𝐻)
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → 𝑡 ∈ ran 𝐻)
18	13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 16, 17	ennnfonelemrnh 12573	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ ran 𝐻) → (𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠))
19	18	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠))
20	12, 19	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐻) → (Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)))
21	20	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ran 𝐻(Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)))
22		fununi 5322	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ ran 𝐻(Fun 𝑠 ∧ ∀𝑡 ∈ ran 𝐻(𝑠 ⊆ 𝑡 ∨ 𝑡 ⊆ 𝑠)) → Fun ∪ ran 𝐻)
23	21, 22	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ∪ ran 𝐻)
24		ennnfone.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
25	8	ffnd 5404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ0)
26		fniunfv 5805	. . . . 5 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ ran 𝐻)
27	25, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖) = ∪ ran 𝐻)
28	24, 27	eqtrid 2238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ∪ ran 𝐻)
29	28	funeqd 5276	. 2 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐿 ↔ Fun ∪ ran 𝐻))
30	23, 29	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∪ cun 3151   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  ifcif 3557  {csn 3618  ⟨cop 3621  ∪ cuni 3835  ∪ ciun 3912   ↦ cmpt 4090  suc csuc 4396  ωcom 4622  ^◡ccnv 4658  dom cdm 4659  ran crn 4660   “ cima 4662  Fun wfun 5248   Fn wfn 5249  –onto→wfo 5252  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ∈ cmpo 5920  freccfrec 6443   ↑_pm cpm 6703  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   − cmin 8190  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ennnfonelemf1  12575