Theorem frecuzrdgtclt 10839

Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
frecuzrdgrclt.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgtclt.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgtclt	⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgfun 10838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ran 𝑅)
7		frecuzrdgtclt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)
8	7	funeqd 5397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝑃 ↔ Fun ran 𝑅))
9	6, 8	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
10	7	dmeqd 4981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 = dom ran 𝑅)
11	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgdom 10836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ≥‘𝐶))
12	10, 11	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 = (ℤ≥‘𝐶))
13		df-fn 5378	. . 3 ⊢ (𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶) ↔ (Fun 𝑃 ∧ dom 𝑃 = (ℤ≥‘𝐶)))
14	9, 12, 13	sylanbrc 421	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶))
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
16		frn 5540	. . . 4 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
18	7, 17	eqsstrd 3284	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
19		dff2 5846	. 2 ⊢ (𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 ↔ (𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑃 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆)))
20	14, 18, 19	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3711  ωcom 4735   × cxp 4770  dom cdm 4772  ran crn 4773  Fun wfun 5369   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078   ∈ cmpo 6080  freccfrec 6654  1c1 8173   + caddc 8175  ℤcz 9626  ℤ_≥cuz 9903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904

This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10840  frecuzrdgsuctlem  10841  seqf  10882  seqf2  10886