Theorem frecuzrdgtclt 10530

Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
frecuzrdgrclt.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgtclt.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgtclt	⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgfun 10529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ran 𝑅)
7		frecuzrdgtclt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)
8	7	funeqd 5281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝑃 ↔ Fun ran 𝑅))
9	6, 8	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
10	7	dmeqd 4869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 = dom ran 𝑅)
11	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgdom 10527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ≥‘𝐶))
12	10, 11	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 = (ℤ≥‘𝐶))
13		df-fn 5262	. . 3 ⊢ (𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶) ↔ (Fun 𝑃 ∧ dom 𝑃 = (ℤ≥‘𝐶)))
14	9, 12, 13	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶))
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
16		frn 5419	. . . 4 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
18	7, 17	eqsstrd 3220	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
19		dff2 5709	. 2 ⊢ (𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 ↔ (𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑃 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆)))
20	14, 18, 19	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3626  ωcom 4627   × cxp 4662  dom cdm 4664  ran crn 4665  Fun wfun 5253   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  freccfrec 6457  1c1 7897   + caddc 7899  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10531  frecuzrdgsuctlem  10532  seqf  10573  seqf2  10577