Theorem frecuzrdgtclt 10643

Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
frecuzrdgrclt.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgtclt.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgtclt	⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgfun 10642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ran 𝑅)
7		frecuzrdgtclt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)
8	7	funeqd 5340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝑃 ↔ Fun ran 𝑅))
9	6, 8	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
10	7	dmeqd 4925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 = dom ran 𝑅)
11	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgdom 10640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ≥‘𝐶))
12	10, 11	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 = (ℤ≥‘𝐶))
13		df-fn 5321	. . 3 ⊢ (𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶) ↔ (Fun 𝑃 ∧ dom 𝑃 = (ℤ≥‘𝐶)))
14	9, 12, 13	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶))
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
16		frn 5482	. . . 4 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
18	7, 17	eqsstrd 3260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
19		dff2 5779	. 2 ⊢ (𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 ↔ (𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑃 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆)))
20	14, 18, 19	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669  ωcom 4682   × cxp 4717  dom cdm 4719  ran crn 4720  Fun wfun 5312   Fn wfn 5313  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001   ∈ cmpo 6003  freccfrec 6536  1c1 8000   + caddc 8002  ℤcz 9446  ℤ_≥cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10644  frecuzrdgsuctlem  10645  seqf  10686  seqf2  10690