Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgtclt GIF version

Theorem frecuzrdgtclt 10206
 Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrclt.t (𝜑𝑆𝑇)
frecuzrdgrclt.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgtclt.3 (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgtclt (𝜑𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frecuzrdgrclt.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
3 frecuzrdgrclt.t . . . . 5 (𝜑𝑆𝑇)
4 frecuzrdgrclt.f . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrclt.r . . . . 5 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
61, 2, 3, 4, 5frecuzrdgfun 10205 . . . 4 (𝜑 → Fun ran 𝑅)
7 frecuzrdgtclt.3 . . . . 5 (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
87funeqd 5145 . . . 4 (𝜑 → (Fun 𝑃 ↔ Fun ran 𝑅))
96, 8mpbird 166 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑃)
107dmeqd 4741 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑃 = dom ran 𝑅)
111, 2, 3, 4, 5frecuzrdgdom 10203 . . . 4 (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ𝐶))
1210, 11eqtrd 2172 . . 3 (𝜑 → dom 𝑃 = (ℤ𝐶))
13 df-fn 5126 . . 3 (𝑃 Fn (ℤ𝐶) ↔ (Fun 𝑃 ∧ dom 𝑃 = (ℤ𝐶)))
149, 12, 13sylanbrc 413 . 2 (𝜑𝑃 Fn (ℤ𝐶))
151, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10200 . . . 4 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
16 frn 5281 . . . 4 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
1715, 16syl 14 . . 3 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
187, 17eqsstrd 3133 . 2 (𝜑𝑃 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
19 dff2 5564 . 2 (𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆 ↔ (𝑃 Fn (ℤ𝐶) ∧ 𝑃 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆)))
2014, 18, 19sylanbrc 413 1 (𝜑𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071  ⟨cop 3530  ωcom 4504   × cxp 4537  dom cdm 4539  ran crn 4540  Fun wfun 5117   Fn wfn 5118  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  freccfrec 6287  1c1 7633   + caddc 7635  ℤcz 9066  ℤ≥cuz 9338 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339 This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10207  frecuzrdgsuctlem  10208  seqf  10246  seqf2  10249
 Copyright terms: Public domain W3C validator