Theorem frecuzrdgtclt 10377

Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
frecuzrdgrclt.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgtclt.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgtclt	⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgfun 10376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ran 𝑅)
7		frecuzrdgtclt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)
8	7	funeqd 5220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝑃 ↔ Fun ran 𝑅))
9	6, 8	mpbird 166	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
10	7	dmeqd 4813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 = dom ran 𝑅)
11	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgdom 10374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ran 𝑅 = (ℤ≥‘𝐶))
12	10, 11	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 = (ℤ≥‘𝐶))
13		df-fn 5201	. . 3 ⊢ (𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶) ↔ (Fun 𝑃 ∧ dom 𝑃 = (ℤ≥‘𝐶)))
14	9, 12, 13	sylanbrc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶))
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
16		frn 5356	. . . 4 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
18	7, 17	eqsstrd 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
19		dff2 5640	. 2 ⊢ (𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 ↔ (𝑃 Fn (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑃 ⊆ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆)))
20	14, 18, 19	sylanbrc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  ⟨cop 3586  ωcom 4574   × cxp 4609  dom cdm 4611  ran crn 4612  Fun wfun 5192   Fn wfn 5193  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   ∈ cmpo 5855  freccfrec 6369  1c1 7775   + caddc 7777  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10378  frecuzrdgsuctlem  10379  seqf  10417  seqf2  10420