ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blbas GIF version

Theorem blbas 13566
Description: The balls of a metric space form a basis for a topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbas (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)

Proof of Theorem blbas
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blin2 13565 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦))
2 simpll 527 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 elinel1 3321 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) → 𝑧𝑥)
4 elunii 3812 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
53, 4sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
65ad2ant2lr 510 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
7 unirnbl 13556 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
87ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
96, 8eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝑧𝑋)
10 blssex 13563 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦)))
112, 9, 10syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → (∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦)))
121, 11mpbird 167 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)))
1312ex 115 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ((𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1413ralrimdva 2557 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1514ralrimivv 2558 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)))
16 blex 13520 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)
17 rnexg 4887 . . 3 ((ball‘𝐷) ∈ V → ran (ball‘𝐷) ∈ V)
18 isbasis2g 13176 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ∈ V → (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1916, 17, 183syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
2015, 19mpbird 167 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129   cuni 3807  ran crn 4623  cfv 5211  (class class class)co 5868  +crp 9627  ∞Metcxmet 13113  ballcbl 13115  TopBasesctb 13173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-map 6643  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-xadd 9747  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-bl 13123  df-bases 13174
This theorem is referenced by:  mopnval  13575  mopntopon  13576  elmopn  13579  blssopn  13618  metss  13627
  Copyright terms: Public domain W3C validator