Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blbas GIF version

Theorem blbas 12642
 Description: The balls of a metric space form a basis for a topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbas (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)

Proof of Theorem blbas
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blin2 12641 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦))
2 simpll 519 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 elinel1 3267 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) → 𝑧𝑥)
4 elunii 3749 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
53, 4sylan 281 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
65ad2ant2lr 502 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
7 unirnbl 12632 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
87ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
96, 8eleqtrd 2219 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝑧𝑋)
10 blssex 12639 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦)))
112, 9, 10syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → (∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦)))
121, 11mpbird 166 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)))
1312ex 114 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ((𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1413ralrimdva 2515 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1514ralrimivv 2516 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)))
16 blex 12596 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)
17 rnexg 4812 . . 3 ((ball‘𝐷) ∈ V → ran (ball‘𝐷) ∈ V)
18 isbasis2g 12252 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ∈ V → (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1916, 17, 183syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
2015, 19mpbird 166 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  Vcvv 2689   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076  ∪ cuni 3744  ran crn 4548  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℝ+crp 9471  ∞Metcxmet 12189  ballcbl 12191  TopBasesctb 12249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763  ax-arch 7764  ax-caucvg 7765 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-inn 8746  df-2 8804  df-3 8805  df-4 8806  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352  df-q 9440  df-rp 9472  df-xneg 9590  df-xadd 9591  df-seqfrec 10251  df-exp 10325  df-cj 10647  df-re 10648  df-im 10649  df-rsqrt 10803  df-abs 10804  df-psmet 12196  df-xmet 12197  df-bl 12199  df-bases 12250 This theorem is referenced by:  mopnval  12651  mopntopon  12652  elmopn  12655  blssopn  12694  metss  12703
 Copyright terms: Public domain W3C validator