Theorem blbas 13227

Description: The balls of a metric space form a basis for a topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blbas	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)

Proof of Theorem blbas

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blin2 13226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
2		simpll 524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		elinel1 3313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑥)
4		elunii 3801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑧 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
5	3, 4	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑧 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
6	5	ad2ant2lr 507	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝑧 ∈ ∪ ran (ball‘𝐷))
7		unirnbl 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
8	7	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
9	6, 8	eleqtrd 2249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
10		blssex 13224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
11	2, 9, 10	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → (∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
12	1, 11	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
13	12	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
14	13	ralrimdva 2550	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
15	14	ralrimivv 2551	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
16		blex 13181	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)
17		rnexg 4876	. . 3 ⊢ ((ball‘𝐷) ∈ V → ran (ball‘𝐷) ∈ V)
18		isbasis2g 12837	. . 3 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ V → (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
19	16, 17, 18	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
20	15, 19	mpbird 166	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  Vcvv 2730   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∪ cuni 3796  ran crn 4612  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝ⁺crp 9610  ∞Metcxmet 12774  ballcbl 12776  TopBasesctb 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-bl 12784  df-bases 12835

This theorem is referenced by:  mopnval  13236  mopntopon  13237  elmopn  13240  blssopn  13279  metss  13288