ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blbas GIF version

Theorem blbas 12422
Description: The balls of a metric space form a basis for a topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbas (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)

Proof of Theorem blbas
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blin2 12421 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦))
2 simpll 501 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 elinel1 3228 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) → 𝑧𝑥)
4 elunii 3707 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
53, 4sylan 279 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
65ad2ant2lr 499 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝑧 ran (ball‘𝐷))
7 unirnbl 12412 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
87ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
96, 8eleqtrd 2193 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → 𝑧𝑋)
10 blssex 12419 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦)))
112, 9, 10syl2anc 406 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → (∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥𝑦)))
121, 11mpbird 166 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷))) → ∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)))
1312ex 114 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ((𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1413ralrimdva 2486 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1514ralrimivv 2487 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦)))
16 blex 12376 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)
17 rnexg 4762 . . 3 ((ball‘𝐷) ∈ V → ran (ball‘𝐷) ∈ V)
18 isbasis2g 12055 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ∈ V → (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
1916, 17, 183syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑏 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑥𝑦))))
2015, 19mpbird 166 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2390  wrex 2391  Vcvv 2657  cin 3036  wss 3037   cuni 3702  ran crn 4500  cfv 5081  (class class class)co 5728  +crp 9343  ∞Metcxmet 11992  ballcbl 11994  TopBasesctb 12052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-map 6498  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-xneg 9452  df-xadd 9453  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-psmet 11999  df-xmet 12000  df-bl 12002  df-bases 12053
This theorem is referenced by:  mopnval  12431  mopntopon  12432  elmopn  12435  blssopn  12474  metss  12483
  Copyright terms: Public domain W3C validator