Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgclb GIF version

Theorem tgclb 12260
 Description: The property tgcl 12259 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 12259 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 df-topgen 12167 . . . . . . . . . . . . 13 topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦𝑦 (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
32funmpt2 5165 . . . . . . . . . . . 12 Fun topGen
4 funrel 5143 . . . . . . . . . . . 12 (Fun topGen → Rel topGen)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Rel topGen
6 0opn 12199 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
7 relelfvdm 5456 . . . . . . . . . . 11 ((Rel topGen ∧ ∅ ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
85, 6, 7sylancr 410 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ dom topGen)
98elexd 2699 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
10 bastg 12256 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1211sselda 3097 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
1311sselda 3097 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
1412, 13anim12dan 589 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
15 inopn 12196 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
16153expb 1182 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
1714, 16syldan 280 . . . . 5 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
18 tg2 12255 . . . . . 6 (((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1918ralrimiva 2505 . . . . 5 ((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
2017, 19syl 14 . . . 4 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
2120ralrimivva 2514 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
22 isbasis2g 12238 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
239, 22syl 14 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
2421, 23mpbird 166 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
251, 24impbii 125 1 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480  {cab 2125  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  Vcvv 2686   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  𝒫 cpw 3510  ∪ cuni 3739  dom cdm 4542  Rel wrel 4547  Fun wfun 5120  ‘cfv 5126  topGenctg 12161  Topctop 12190  TopBasesctb 12235 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-topgen 12167  df-top 12191  df-bases 12236 This theorem is referenced by:  bastop2  12279  tgcn  12403  tgcnp  12404
 Copyright terms: Public domain W3C validator