Theorem mnfltxr 9722

Description: Minus infinity is less than an extended real that is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltxr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt 9719	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2		mnfltpnf 9721	. . 3 ⊢ -∞ < +∞
3		breq2 3986	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
4	2, 3	mpbiri 167	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
5	1, 4	jaoi 706	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℝcr 7752  +∞cpnf 7930  -∞cmnf 7931   < clt 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-cnex 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938

This theorem is referenced by:  xrltso  9732