ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnflt GIF version

Theorem mnflt 9595
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnflt (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnflt
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . . . 4 -∞ = -∞
2 olc 701 . . . 4 ((-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
31, 2mpan 421 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
43olcd 724 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))))
5 mnfxr 7842 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
6 rexr 7831 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 ltxr 9588 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
85, 6, 7sylancr 411 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
94, 8mpbird 166 1 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3933  cr 7639   < cltrr 7644  +∞cpnf 7817  -∞cmnf 7818  *cxr 7819   < clt 7820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-cnex 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-xp 4549  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825
This theorem is referenced by:  mnflt0  9596  mnfltxr  9598  xrlttr  9607  xrltso  9608  xrlttri3  9609  ngtmnft  9626  nmnfgt  9627  xrrebnd  9628  xrre3  9631  xltnegi  9644  xltadd1  9685  xposdif  9691  elico2  9746  elicc2  9747  ioomax  9757  elioomnf  9777  qbtwnxr  10062  tgioo  12745
  Copyright terms: Public domain W3C validator