Theorem mnflt 9785

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . 4 ⊢ -∞ = -∞
2		olc 711	. . . 4 ⊢ ((-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
4	3	olcd 734	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))))
5		mnfxr 8016	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		rexr 8005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		ltxr 9777	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ℝcr 7812   <_ℝ cltrr 7817  +∞cpnf 7991  -∞cmnf 7992  ℝ^*cxr 7993   < clt 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999

This theorem is referenced by:  mnflt0  9786  mnfltxr  9788  xrlttr  9797  xrltso  9798  xrlttri3  9799  ngtmnft  9819  nmnfgt  9820  xrrebnd  9821  xrre3  9824  xltnegi  9837  xltadd1  9878  xposdif  9884  elico2  9939  elicc2  9940  ioomax  9950  elioomnf  9970  qbtwnxr  10260  tgioo  14085