ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfnlt GIF version

Theorem pnfnlt 9700
Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnlt (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt
StepHypRef Expression
1 pnfnre 7921 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
21neli 2424 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
32intnanr 916 . . . . 5 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
43intnanr 916 . . . 4 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴)
5 pnfnemnf 7934 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65neii 2329 . . . . 5 ¬ +∞ = -∞
76intnanr 916 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
84, 7pm3.2ni 803 . . 3 ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
92intnanr 916 . . . 4 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
106intnanr 916 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 803 . . 3 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 803 . 2 ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13 pnfxr 7932 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 9688 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan 421 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 665 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3967  cr 7733   < cltrr 7738  +∞cpnf 7911  -∞cmnf 7912  *cxr 7913   < clt 7914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-xp 4594  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919
This theorem is referenced by:  pnfge  9702  xrltnsym  9706  xrlttr  9708  xrltso  9709  xltnegi  9745  xposdif  9792  qbtwnxr  10166  xrmaxiflemab  11155  xrmaxltsup  11166
  Copyright terms: Public domain W3C validator