Theorem pnfnlt 9801

Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnlt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8013	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2454	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3	2	intnanr 931	. . . . 5 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	intnanr 931	. . . 4 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴)
5		pnfnemnf 8026	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
6	5	neii 2359	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ = -∞
7	6	intnanr 931	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
8	4, 7	pm3.2ni 814	. . 3 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
9	2	intnanr 931	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
10	6	intnanr 931	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	pm3.2ni 814	. . 3 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
12	8, 11	pm3.2ni 814	. 2 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13		pnfxr 8024	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		ltxr 9789	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
15	13, 14	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
16	12, 15	mtbiri 676	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ℝcr 7824   <_ℝ cltrr 7829  +∞cpnf 8003  -∞cmnf 8004  ℝ^*cxr 8005   < clt 8006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011

This theorem is referenced by:  pnfge  9803  xrltnsym  9807  xrlttr  9809  xrltso  9810  xltnegi  9849  xposdif  9896  qbtwnxr  10272  xrmaxiflemab  11269  xrmaxltsup  11280