Theorem pnfnlt 10189

Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnlt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8367	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2517	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3	2	intnanr 942	. . . . 5 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	intnanr 942	. . . 4 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴)
5		pnfnemnf 8380	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
6	5	neii 2422	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ = -∞
7	6	intnanr 942	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
8	4, 7	pm3.2ni 825	. . 3 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
9	2	intnanr 942	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
10	6	intnanr 942	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	pm3.2ni 825	. . 3 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
12	8, 11	pm3.2ni 825	. 2 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13		pnfxr 8378	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		ltxr 10177	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
15	13, 14	mpan 428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
16	12, 15	mtbiri 686	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   <_ℝ cltrr 8183  +∞cpnf 8357  -∞cmnf 8358  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  pnfge  10191  xrltnsym  10195  xrlttr  10197  xrltso  10198  xltnegi  10237  xposdif  10284  qbtwnxr  10692  xqltnle  10702  xrmaxiflemab  12013  xrmaxltsup  12024