ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfnlt GIF version

Theorem pnfnlt 9744
Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnlt (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt
StepHypRef Expression
1 pnfnre 7961 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
21neli 2437 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
32intnanr 925 . . . . 5 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
43intnanr 925 . . . 4 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴)
5 pnfnemnf 7974 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65neii 2342 . . . . 5 ¬ +∞ = -∞
76intnanr 925 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
84, 7pm3.2ni 808 . . 3 ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
92intnanr 925 . . . 4 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
106intnanr 925 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 808 . . 3 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 808 . 2 ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13 pnfxr 7972 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 9732 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan 422 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 670 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  cr 7773   < cltrr 7778  +∞cpnf 7951  -∞cmnf 7952  *cxr 7953   < clt 7954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959
This theorem is referenced by:  pnfge  9746  xrltnsym  9750  xrlttr  9752  xrltso  9753  xltnegi  9792  xposdif  9839  qbtwnxr  10214  xrmaxiflemab  11210  xrmaxltsup  11221
  Copyright terms: Public domain W3C validator