ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfltpnf GIF version

Theorem mnfltpnf 9511
Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfltpnf -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . . . 4 -∞ = -∞
2 eqid 2115 . . . 4 +∞ = +∞
3 olc 683 . . . 4 ((-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞) → (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)))
41, 2, 3mp2an 420 . . 3 (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
54orci 703 . 2 ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
6 mnfxr 7786 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
7 pnfxr 7782 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
8 ltxr 9502 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
96, 7, 8mp2an 420 . 2 (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
105, 9mpbir 145 1 -∞ < +∞
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  cr 7583   < cltrr 7588  +∞cpnf 7761  -∞cmnf 7762  *cxr 7763   < clt 7764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-cnex 7675
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769
This theorem is referenced by:  mnfltxr  9512  xrlttr  9521  xrltso  9522  xrlttri3  9523  nltpnft  9537  npnflt  9538  ngtmnft  9540  nmnfgt  9541  xltnegi  9558  xposdif  9605
  Copyright terms: Public domain W3C validator