Theorem ordeq 4517

Description: Equality theorem for the ordinal predicate. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ordeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Ord 𝐴 ↔ Ord 𝐵))

Proof of Theorem ordeq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		treq 4235	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Tr 𝐴 ↔ Tr 𝐵))
2		raleq 2749	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 Tr 𝑥))
3	1, 2	anbi12d 477	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((Tr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥) ↔ (Tr 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 Tr 𝑥)))
4		dford3 4512	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥))
5		dford3 4512	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 ↔ (Tr 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 Tr 𝑥))
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Ord 𝐴 ↔ Ord 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∀wral 2528  Tr wtr 4229  Ord word 4507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-in 3226  df-ss 3233  df-uni 3936  df-tr 4230  df-iord 4511

This theorem is used by:  elong  4518  limeq  4522  ordelord  4526  ordtriexmidlem  4666  2ordpr  4671  issmo  6559  issmo2  6560  smoeq  6561  smores  6563  smores2  6565  smodm2  6566  smoiso  6573  tfrlem8  6589  tfri1dALT  6622